Calcule as derivadas parciais de 1{ }^{\text {a }} ordem das funções abaixo:
f(x, y)=e^{x^{2} y}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função \,f(x,y)=e^{x^{2}y}\,.
Informações fornecidas e o que precisamos encontrar:
  • Função dada: \,f(x,y)=e^{x^{2}y}\,.
  • Variáveis independentes: \,x e \,y.
  • Pedidos: \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} e \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}.

Passo 2

O que é derivada parcial?
A derivada parcial de f em relação a x, \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}, mede quanto f varia quando só mudamos x mantendo y fixo. Formalmente,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.
Analogamente para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}, mantendo x fixo. Na prática usamos regras de derivação (como cadeia, produto, etc.) tratando a outra variável como constante.

Passo 3

Regra da cadeia (versão prática que vamos usar): se f(x,y)=g(u(x,y)), então
\frac{\partial f}{\partial x}=g'(u(x,y))\cdot\frac{\partial u}{\partial x},
porque ao derivar em relação a x aplicamos a derivada de g em u e multiplicamos pela derivada de u em relação a x. No nosso caso g(u)=e^{u} e g'(u)=e^{u} (a derivada de e^{u} é e^{u}).

Passo 4

Aplicando ao problema: defina
u(x,y)=x^{2}y,
assim \,f(x,y)=e^{u(x,y)}. Primeiro calculemos \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} tratando y como constante. Como u(x,y)=x^{2}y é o produto de x^{2} por y (constante), temos
\frac{\partial u}{\partial x}=2x\cdot y.
Aqui usei que a derivada de x^{2} em relação a x é 2x, e o y permanece como fator constante.

Passo 5

Agora use a regra da cadeia para obter \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}:
\frac{\partial f}{\partial x}=e^{u(x,y)}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}=e^{x^{2}y}\cdot(2xy).
Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}=2xy\,e^{x^{2}y}.

Passo 6

Agora calcule \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}. Repetimos o processo: com u(x,y)=x^{2}y, derivando em relação a y (agora x é constante) obtemos
\frac{\partial u}{\partial y}=x^{2},
pois a derivada de x^{2}y em relação a y é x^{2} (trato x^{2} como constante). Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial y}=e^{u(x,y)}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}=e^{x^{2}y}\cdot x^{2}.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}=x^{2}e^{x^{2}y}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=2xy\,e^{x^{2}y}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=x^{2}e^{x^{2}y}

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