Calcule as derivadas parciais de
ordem das funções abaixo:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
.
Informações fornecidas e o que precisamos encontrar:
Informações fornecidas e o que precisamos encontrar:
- Função dada:
. - Variáveis independentes:
e . - Pedidos:
e .
Passo 2
O que é derivada parcial?
A derivada parcial de em relação a
,
, mede quanto
varia quando só mudamos
mantendo
fixo. Formalmente,
A derivada parcial de
Analogamente para
, mantendo
fixo. Na prática usamos regras de derivação (como cadeia, produto, etc.) tratando a outra variável como constante.
Passo 3
Regra da cadeia (versão prática que vamos usar): se
, então
porque ao derivar em relação a
aplicamos a derivada de
em
e multiplicamos pela derivada de
em relação a
. No nosso caso
e
(a derivada de
é
).
Passo 4
Aplicando ao problema: defina
assim
. Primeiro calculemos
tratando
como constante. Como
é o produto de
por
(constante), temos
Aqui usei que a derivada de
em relação a
é
, e o
permanece como fator constante.
Passo 5
Agora use a regra da cadeia para obter
:
Portanto
Passo 6
Agora calcule
. Repetimos o processo: com
, derivando em relação a
(agora
é constante) obtemos
pois a derivada de
em relação a
é
(trato
como constante). Aplicando a regra da cadeia:
Portanto