Uma matriz
de ordem 4 tem determinante igual 3 , isto é,
. Com base nessa informação, é correto afirmar que
é igual a:
(A) 96
(B) 48
(C) 32
(D) 12
(E) 6
(A) 96
(B) 48
(C) 32
(D) 12
(E) 6
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta:
- Informação dada: uma matriz
de ordem tem . - Pergunta: qual é o valor de
?
Passo 2
Propriedade 1 que vamos usar: o determinante de uma matriz e o determinante da sua transposta são iguais. Em símbolos:
Explicação didática curta: o determinante é definido como uma soma sobre permutações dos elementos
. Ao transpor, essas entradas ficam
, e a soma sobre permutações fica exatamente a mesma, então o valor não muda. Exemplo concreto (2×2) para ver na prática: para
temos
e
, iguais.
Passo 3
Propriedade 2 que vamos usar: se
é uma matriz quadrada de ordem
e
é um escalar, então
Explicação didática: multiplicar a matriz por
é multiplicar cada linha por
. Multiplicar uma única linha por
multiplica o determinante por
. Como há
linhas, o efeito acumulado é multiplicar o determinante por
. Exemplo (2×2): para
temos
.
Passo 4
Aplicando as propriedades ao nosso caso. Primeiro usemos a propriedade da transposta:
Pela propriedade 2, com
e
,
Pela propriedade 1,
. Portanto
Passo 5
Agora substituímos os valores numéricos:
e
. Assim
Passo 6
Resumo rápido para levar à prova: use que
e que fator escalar sai do determinante com potência igual à ordem da matriz (
). Aqui
e
, logo fator
.
Resposta
(B)