Uma matriz A de ordem 4 tem determinante igual 3 , isto é, \operatorname{det}(A)=3. Com base nessa informação, é correto afirmar que \operatorname{det}\left(2 . A^{t}\right) é igual a:
(A) 96
(B) 48
(C) 32
(D) 12
(E) 6

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta:
  • Informação dada: uma matriz A de ordem 4 tem \det(A)=3.
  • Pergunta: qual é o valor de \det\bigl(2\cdot A^{t}\bigr)?

Passo 2

Propriedade 1 que vamos usar: o determinante de uma matriz e o determinante da sua transposta são iguais. Em símbolos:
\det\bigl(A^{t}\bigr)=\det(A).
Explicação didática curta: o determinante é definido como uma soma sobre permutações dos elementos a_{i,\sigma(i)}. Ao transpor, essas entradas ficam a_{\sigma(i),i}, e a soma sobre permutações fica exatamente a mesma, então o valor não muda. Exemplo concreto (2×2) para ver na prática: para
B=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}
temos \det(B)=ad-bc e \det(B^{t})=\det\!\begin{pmatrix}a & c\\\ b & d\end{pmatrix}=ad-bc, iguais.

Passo 3

Propriedade 2 que vamos usar: se C é uma matriz quadrada de ordem n e k é um escalar, então
\det(kC)=k^{n}\det\text{(C)}.
Explicação didática: multiplicar a matriz por k é multiplicar cada linha por k. Multiplicar uma única linha por k multiplica o determinante por k. Como há n linhas, o efeito acumulado é multiplicar o determinante por k^{n}. Exemplo (2×2): para kB temos \det(kB)=k^{2}\det(B).

Passo 4

Aplicando as propriedades ao nosso caso. Primeiro usemos a propriedade da transposta:
\det\bigl(2\cdot A^{t}\bigr)=\det\bigl(2\cdot (A^{t})\bigr).
Pela propriedade 2, com k=2 e n=4,
\det\bigl(2\cdot (A^{t})\bigr)=2^{4}\det\bigl(A^{t}\bigr).
Pela propriedade 1, \det\bigl(A^{t}\bigr)=\det(A). Portanto
\det\bigl(2\cdot A^{t}\bigr)=2^{4}\det(A).

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos: 2^{4}=16 e \det(A)=3. Assim
\det\bigl(2\cdot A^{t}\bigr)=16\cdot 3=48.

Passo 6

Resumo rápido para levar à prova: use que \det(A^{t})=\det(A) e que fator escalar sai do determinante com potência igual à ordem da matriz ( k^{n}). Aqui k=2 e n=4, logo fator 2^{4}=16.

Resposta

(B) 48

Exercícios relacionados