Calcule as derivadas parciais de \tilde{f} (ou a matriz Jacobiana de \tilde{f}, se preferir), em cada caso. f(x, y, z)=z \cos (x y), \quad \varphi(u, v)=(u+v, u-v, u v)
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de \tilde{f} (ou a matriz Jacobiana de \tilde{f}). As informações dadas são:
f(x,y,z)=z\cos(xy),
\varphi(u,v)=(u+v,\;u-v,\;uv).
Devemos, portanto, formar \tilde{f}=f\circ\varphi e calcular \dfrac{\partial\tilde{f}}{\partial u} e \dfrac{\partial\tilde{f}}{\partial v} (ou montar a Jacobiana de \tilde f).
Passo 2
Primeiro escrevemos explicitamente a composição. Das componentes de \varphi temos
Montagem da matriz Jacobiana (gradiente como linha ou vetor coluna). A Jacobiana de \tilde f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} pode ser representada como vetor gradiente: