Calcule as derivadas parciais de \tilde{f} (ou a matriz Jacobiana de \tilde{f}, se preferir), em cada caso.
f(x, y, z)=z \cos (x y), \quad \varphi(u, v)=(u+v, u-v, u v)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de \tilde{f} (ou a matriz Jacobiana de \tilde{f}). As informações dadas são:
f(x,y,z)=z\cos(xy),
\varphi(u,v)=(u+v,\;u-v,\;uv).
Devemos, portanto, formar \tilde{f}=f\circ\varphi e calcular \dfrac{\partial\tilde{f}}{\partial u} e \dfrac{\partial\tilde{f}}{\partial v} (ou montar a Jacobiana de \tilde f).

Passo 2

Primeiro escrevemos explicitamente a composição. Das componentes de \varphi temos
x=u+v,\qquad y=u-v,\qquad z=uv.
Substituindo em f,
\tilde{f}(u,v)=f\big(\varphi(u,v)\big)=uv\cos\big((u+v)(u-v)\big).
Observe que (u+v)(u-v)=u^{2}-v^{2}. Logo podemos simplificar:
\tilde{f}(u,v)=uv\cos\big(u^{2}-v^{2}\big).

Passo 3

Antes de derivar, vale uma revisão rápida das regras que vamos usar:
  • Regra do produto: se h(u,v)=g(u,v)\cdot r(u,v), então
\frac{\partial h}{\partial u}=\frac{\partial g}{\partial u}\,r+g\,\frac{\partial r}{\partial u},
e análogamente para a derivada em relação a v.
  • Regra da cadeia (para funções compostas): se s(u,v)=\cos(\varphi(u,v)), então
\frac{\partial s}{\partial u}=-\sin(\varphi(u,v))\cdot\frac{\partial \varphi}{\partial u},
pois a derivada de \cos é -\sin e multiplicamos pela derivada do argumento \varphi.
Aplicaremos produto + cadeia a \tilde f(u,v)=\big(uv\big)\cdot\cos\big(u^{2}-v^{2}\big).

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial\tilde{f}}{\partial u}.
  • Primeiro elemento (derivada de uv em relação a u) é
\frac{\partial}{\partial u}(uv)=v.
  • Segundo elemento (derivada de \cos(u^{2}-v^{2}) em relação a u) pela cadeia é
\frac{\partial}{\partial u}\cos(u^{2}-v^{2})=-\sin(u^{2}-v^{2})\cdot\frac{\partial}{\partial u}(u^{2}-v^{2})=-\sin(u^{2}-v^{2})\cdot 2u.
Agora aplicamos a regra do produto:
\frac{\partial\tilde f}{\partial u} = \underbrace{v}_{\partial(uv)/\partial u}\cos(u^{2}-v^{2}) + uv\cdot\big(-\sin(u^{2}-v^{2})\cdot 2u\big).
Simplificando:
\frac{\partial\tilde f}{\partial u} = v\cos(u^{2}-v^{2}) - 2u^{2}v\sin(u^{2}-v^{2}).
Podemos também escrever fatorando v:
\frac{\partial\tilde f}{\partial u}=v\Big(\cos(u^{2}-v^{2})-2u^{2}\sin(u^{2}-v^{2})\Big).

Passo 5

Cálculo de \dfrac{\partial\tilde{f}}{\partial v}.
  • Derivada de uv em relação a v é
\frac{\partial}{\partial v}(uv)=u.
  • Derivada de \cos(u^{2}-v^{2}) em relação a v pela cadeia é
\frac{\partial}{\partial v}\cos(u^{2}-v^{2})=-\sin(u^{2}-v^{2})\cdot\frac{\partial}{\partial v}(u^{2}-v^{2})=-\sin(u^{2}-v^{2})\cdot(-2v)=2v\sin(u^{2}-v^{2}).
Aplicando a regra do produto:
\frac{\partial\tilde f}{\partial v} = \underbrace{u}_{\partial(uv)/\partial v}\cos(u^{2}-v^{2}) + uv\cdot\big(2v\sin(u^{2}-v^{2})\big).
Simplificando:
\frac{\partial\tilde f}{\partial v} = u\cos(u^{2}-v^{2}) + 2uv^{2}\sin(u^{2}-v^{2}).
Fatorando u:
\frac{\partial\tilde f}{\partial v}=u\Big(\cos(u^{2}-v^{2})+2v^{2}\sin(u^{2}-v^{2})\Big).

Passo 6

Montagem da matriz Jacobiana (gradiente como linha ou vetor coluna). A Jacobiana de \tilde f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} pode ser representada como vetor gradiente:
\nabla\tilde f(u,v)=\begin{pmatrix} \displaystyle \frac{\partial\tilde f}{\partial u}\\[6pt] \displaystyle \frac{\partial\tilde f}{\partial v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \displaystyle v\cos(u^{2}-v^{2})-2u^{2}v\sin(u^{2}-v^{2})\\[6pt] \displaystyle u\cos(u^{2}-v^{2})+2uv^{2}\sin(u^{2}-v^{2}) \end{pmatrix}.]

Resposta

\displaystyle \frac{\partial\tilde f}{\partial u}=v\cos(u^{2}-v^{2})-2u^{2}v\sin(u^{2}-v^{2})
\displaystyle \frac{\partial\tilde f}{\partial v}=u\cos(u^{2}-v^{2})+2uv^{2}\sin(u^{2}-v^{2})
\displaystyle \nabla\tilde f(u,v)=\begin{pmatrix} v\cos(u^{2}-v^{2})-2u^{2}v\sin(u^{2}-v^{2})\\[6pt] u\cos(u^{2}-v^{2})+2uv^{2}\sin(u^{2}-v^{2}) \end{pmatrix}]

Exercícios relacionados