Calcule as derivadas parciais utilizando as regras ordinárias de derivação
z=f(x, y)=e^yx cdot ln (x^2y)

Passo 1

Temos a função z = e^{\frac{y}{x}} \ln\bigl(\tfrac{x^2}{y}\bigr). O conteúdo aqui é derivadas parciais de uma função de duas variáveis, onde vamos usar a regra do produto, a regra da cadeia e as derivadas de e^u e de ln(u).

Passo 2

Para calcular partial zpartial x definimos u = e^yx e v = lnl(tfracx^2yr). Pela regra do produto: partial zpartial x = ux,v + u,vxCalculamos primeiro as derivadas parciais de u e v em relação a x:
u = e^{\tfrac{y}{x}} implica ux = e^tfracyx cdot l(-tfracyx^2r).
v = \ln(x^2/y) = 2\ln x - \ln y implica vx = tfrac2x.
Substituindo e agrupando em bloco: partial zpartial x = e^tfracyxl(-tfracyx^2r)lnl(tfracx^2yr) + e^tfracyxcdottfrac2x = e^tfracyxl(tfrac2x - tfracyx^2lnl(tfracx^2yr)r)

Passo 3

Para partial zpartial y usamos de novo u = e^{\tfrac{y}{x}} e v = \ln(x^2/y) e aplicamos a regra do produto: partial zpartial y = uy,v + u,vyAs derivadas são:
Para u: uy = e^tfracyxcdottfrac1x.
Para v: v = ln(x^2) - ln y implica vy = -tfrac1y.
Substituindo e simplificando em bloco: partial zpartial y = e^tfracyxcdottfrac1xlnl(tfracx^2yr) + e^tfracyxl(-tfrac1yr) = e^tfracyxl(tfrac1xlnl(tfracx^2yr) - tfrac1yr)

Resposta

partial zpartial x = e^yxl(2x - yx^2lnl(x^2yr)r), partial zpartial y = e^yxl(1xlnl(x^2yr) - 1yr).

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