Calcule as derivadas parciais utilizando as regras ordinárias de derivação
Passo 1
Temos a função z = e^{\frac{y}{x}} \ln\bigl(\tfrac{x^2}{y}\bigr). O conteúdo aqui é derivadas parciais de uma função de duas variáveis, onde vamos usar a regra do produto, a regra da cadeia e as derivadas de e^u e de ln(u).
Passo 2
Para calcular
definimos
e
. Pela regra do produto:
Calculamos primeiro as derivadas parciais de u e v em relação a x:
u = e^{\tfrac{y}{x}} implica .
v = \ln(x^2/y) = 2\ln x - \ln y implica .
Substituindo e agrupando em bloco:
u = e^{\tfrac{y}{x}} implica
v = \ln(x^2/y) = 2\ln x - \ln y implica
Substituindo e agrupando em bloco:
Passo 3
Para
usamos de novo u = e^{\tfrac{y}{x}} e v = \ln(x^2/y) e aplicamos a regra do produto:
As derivadas são:
Para u: .
Para v: implica
.
Substituindo e simplificando em bloco:
Para u:
Para v:
Substituindo e simplificando em bloco: