Calcule o vetor gradiente da função , no ponto e assinale a alternativa correta.
Dada a definição de vetor gradiente:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o vetor gradiente da função $ f(x, y) = y \cdot \ln x $ no ponto . O conteúdo que vamos usar aqui envolve derivadas parciais e vetor gradiente. Para resolver, precisamos entender como encontrar as derivadas parciais da função em relação a e e depois avaliar essas derivadas no ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, que é representada por $ \frac{\partial f}{\partial x} $. A função é $ f(x, y) = y \cdot \ln x $. Quando derivamos em relação a $ x $, tratamos $ y $ como uma constante. Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, representada por $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Aqui, tratamos $ x $ como uma constante. Então:
Passo 4
Com as derivadas parciais em mãos, vamos avaliar cada uma delas no ponto .
Primeiro, para $ \frac{\partial f}{\partial x} $:
Depois, para $ \frac{\partial f}{\partial y} $:
partial fpartial xg|(1, -3) = (-3) cdot 11 = -3
Passo 5
Agora, vamos montar o vetor gradiente usando as derivadas parciais que calculamos: