Calcule o vetor gradiente da função f(x, y)=y cdot ln x, no ponto (1,-3) e assinale a alternativa correta.
Dada a definição de vetor gradiente: nabla f(x, y)=partial fpartial x(x, y) i+partial fpartial y(x, y) j

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o vetor gradiente da função $ f(x, y) = y \cdot \ln x $ no ponto f(x, y) = y cdot ln x . O conteúdo que vamos usar aqui envolve derivadas parciais e vetor gradiente. Para resolver, precisamos entender como encontrar as derivadas parciais da função em relação a (1, -3) e x e depois avaliar essas derivadas no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, que é representada por $ \frac{\partial f}{\partial x} $. A função é $ f(x, y) = y \cdot \ln x $. Quando derivamos em relação a $ x $, tratamos $ y $ como uma constante. Então:
f

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, representada por $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Aqui, tratamos $ x $ como uma constante. Então:
f

Passo 4

Com as derivadas parciais em mãos, vamos avaliar cada uma delas no ponto (1, -3).
Primeiro, para $ \frac{\partial f}{\partial x} $:
partial fpartial x
Depois, para $ \frac{\partial f}{\partial y} $:
partial fpartial xg|(1, -3) = (-3) cdot 11 = -3

Passo 5

Agora, vamos montar o vetor gradiente usando as derivadas parciais que calculamos:
nabla f(1, -3) = partial fpartial xg|(1, -3) cdot i + partial fpartial yg|(1, -3) cdot j = -3 i + 0 j

Resposta

O vetor gradiente da função $ f(x, y) = y \cdot \ln x $ no ponto f(x, y) = y cdot ln x é $ \nabla f(1, -3) = -3 \vec{i} + 0 \vec{j} $.

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