Encontrar
Passo 1
Neste exercício, vamos calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
. O conteúdo envolve derivação de quocientes e potências, e precisaremos aplicar regras de diferenciação (regra do quociente e regra da potência) para
e
.
Passo 2
Para encontrar
, trate
como constante e diferencie cada termo:
O primeiro termo é , cuja derivada em relação a
é
.
O segundo termo é , cuja derivada em relação a
é
.
Logo,
O primeiro termo é
O segundo termo é
Logo,
Passo 3
Para encontrar
, trate
como constante:
O primeiro termo dá derivada
.
O segundo termo dá derivada
.
Portanto,
O primeiro termo
O segundo termo
Portanto,
Passo 4
Agora a segunda parcial em
: derivamos
em relação a
, com
constante.
O termo gera
.
O termo gera
.
Logo,
O termo
O termo
Logo,
Passo 5
Para
, derivamos
em relação a
, com
constante.
O termo gera
.
O termo é constante em
e dá zero.
Então,
O termo
O termo
Então,
Passo 6
Para a mista
, derivamos
em relação a
, com
constante.
O termo dá
.
O termo dá
.
Assim,
O termo
O termo
Assim,
Passo 7
Para
, derivamos
em relação a
, com
constante.
O termo gera
.
O termo gera
.
Portanto,
O termo
O termo
Portanto,
e verificamos que as derivadas mistas coincidem devido à continuidade da função.
Passo 8
Observamos que
, conforme esperado.