Encontrar partial fpartial x ; partial fpartial y ; partial^2 fpartial x^2 ; partial^2 fpartial y^2 ; partial^2 fpartial x partial y ; partial^2 fpartial y partial x
f(x, y)=x^2y-yx^2

Passo 1

Neste exercício, vamos calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função f(x,y)=x^2y-yx^2. O conteúdo envolve derivação de quocientes e potências, e precisaremos aplicar regras de diferenciação (regra do quociente e regra da potência) para x e y.

Passo 2

Para encontrar partial fpartial x, trate y como constante e diferencie cada termo:
O primeiro termo é x^2,y^-1, cuja derivada em relação a x é 2x,y^-1=2xy.
O segundo termo é -y,x^-2, cuja derivada em relação a x é -y)cdot(-2)x^-3=2yx^3.
Logo,
partial fpartial x=2xy+2yx^3

Passo 3

Para encontrar partial fpartial y, trate x como constante:
O primeiro termo x^2,y^-1 dá derivada x^2cdot(-1)y^-2=-x^2y^2.
O segundo termo -y,x^-2 dá derivada -1)cdot x^-2=-1x^2.
Portanto,
partial fpartial y=-x^2y^2-1x^2

Passo 4

Agora a segunda parcial em x: derivamos partial fpartial x=2xy+2yx^3 em relação a x, com y constante.
O termo 2x/y gera 2/y.
O termo 2y,x^-3 gera 2ycdot(-3)x^-4=-6yx^4.
Logo,
partial^2 fpartial x^2=2y-6yx^4

Passo 5

Para partial^2 fpartial y^2, derivamos partial fpartial y=-x^2y^-2-x^-2 em relação a y, com x constante.
O termo -x^2y^-2 gera -x^2)cdot(-2)y^-3=2x^2y^3.
O termo -x^-2 é constante em y e dá zero.
Então,
partial^2 fpartial y^2=2x^2y^3

Passo 6

Para a mista partial^2 fpartial xpartial y, derivamos partial fpartial x=2xy+2yx^3 em relação a y, com x constante.
O termo 2x/y -2x/y^2.
O termo 2y/x^3 2/x^3.
Assim,
partial^2 fpartial xpartial y=-2xy^2+2x^3

Passo 7

Para partial^2 fpartial ypartial x, derivamos partial fpartial y=-x^2y^2-1x^2 em relação a x, com y constante.
O termo -x^2y^-2 gera -2x/y^2.
O termo -x^-2 gera 2x^-3.
Portanto,
partial^2 fpartial ypartial x=-2xy^2+2x^3,
e verificamos que as derivadas mistas coincidem devido à continuidade da função.

Passo 8

Observamos que partial^2 fpartial xpartial y=partial^2 fpartial ypartial x, conforme esperado.

Resposta

partial fpartial x=2xy+2yx^3, partial fpartial y=-x^2y^2-1x^2, partial^2 fpartial x^2=2y-6yx^4, partial^2 fpartial y^2=2x^2y^3, partial^2 fpartial xpartial y=-2xy^2+2x^3, partial^2 fpartial ypartial x=-2xy^2+2x^3

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