Encontrar
Passo 1
O enunciado pede as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função f(x,y)=e^{2x}·sen y. O conteúdo envolvido é diferenciação parcial, usando a regra do produto e a regra da cadeia para funções compostas.
Passo 2
Para encontrar ∂f/∂x, tratamos y como constante e derivamos e^{2x} em relação a x. Pela regra da cadeia, temos d/dx[e{2x}]=2e{2x}. Logo:
Para ∂f/∂y, mantemos x constante e derivamos sen y: d/dy[sin y]=cos y. Assim:
Passo 3
Já para ∂²f/∂x², derivamos ∂f/∂x=2e^{2x}sin y em relação a x: aplica-se novamente a regra da cadeia sobre e^{2x}, obtendo d/dx[2e{2x}]=4e{2x}. Então:
Para ∂²f/∂y², derivamos ∂f/∂y=e^{2x}cos y em relação a y: d/dy[cos y]=−sin y, logo:
Passo 4
O derivada mista ∂²f/∂x∂y faz x primeiro e y depois: começamos com ∂f/∂x=2e^{2x}sin y e derivamos em relação a y. A única parte que depende de y é sin y, cuja derivada é cos y. Fica:
Por fim, ∂²f/∂y∂x faz y primeiro e x depois: partimos de ∂f/∂y=e^{2x}cos y e derivamos em x. A parte que depende de x é e^{2x}, com derivada 2e^{2x}. Portanto: