Calcule as derivadas parciais de 1^varrho ordem das funções dadas:
g(x, y)=cos (x y)^arccos (2 x^2+3 y^2);

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função g(x,y)=cosl((xy)^arccos(2x^2+3y^2)r). O conteúdo envolvido inclui derivadas parciais, regra da cadeia e derivada de função com expoente variável.

Passo 2

Definimos u(x,y)=(xy)^arccos(2x^2+3y^2), de modo que g(x,y)=cos(u). Pela regra da cadeia temos
partial gpartial x=-sin(u),partial upartial x,
partial gpartial y=-sin(u),partial upartial y

Passo 3

Para derivar u=a^b usamos a fórmula
partialpartial x(a^b)=a^bl(partial bpartial xln(a)+b1apartial apartial xr),
com a=xy e b=arccos(2x^2+3y^2).

Passo 4

Calculamos as derivadas de a e b:
partial apartial x=y, partial apartial y=x,
partial bpartial x=-4xraiz1-(2x^2+3y^2)^2, partial bpartial y=-6yraiz1-(2x^2+3y^2)^2

Passo 5

Substituindo em partial u/partial x e simplificando:
partial upartial x=ul(-4xraiz1-(2x^2+3y^2)^2ln(xy)+b,yxyr)=ul(-4xln(xy)raiz1-(2x^2+3y^2)^2+bxr)

Passo 6

Logo
partial gpartial x=-sinl((xy)^br);ul(-4xln(xy)raiz1-(2x^2+3y^2)^2+bxr)

Passo 7

De forma análoga, para y obtemos:
partial upartial y=ul(-6yln(xy)raiz1-(2x^2+3y^2)^2+byr),
partial gpartial y=-sinl((xy)^br);ul(-6yln(xy)raiz1-(2x^2+3y^2)^2+byr)

Resposta

[\n\frac{\partial g}{\partial x} = -\sin\bigl((xy){\arccos(2x2+3y2)}\bigr),(xy){\arccos(2x2+3y2)}\Bigl(-\frac{4x\ln(xy)}{\sqrt{1-(2x2+3y2)2}}+\frac{\arccos(2x2+3y^2)}{x}\Bigr)\n]
[\n\frac{\partial g}{\partial y} = -\sin\bigl((xy){\arccos(2x2+3y2)}\bigr),(xy){\arccos(2x2+3y2)}\Bigl(-\frac{6y\ln(xy)}{\sqrt{1-(2x2+3y2)2}}+\frac{\arccos(2x2+3y^2)}{y}\Bigr)\n]

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