Calcule as derivadas parciais de
ordem das funções dadas:
;
Passo 1
Vamos primeiro entender o que a questão pede: temos a função f(x,y)=arctan((x–y)^2) e precisamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem. O conteúdo central aqui é derivada parcial e aplicação da regra da cadeia para funções compostas.
Passo 2
Para usar a regra da cadeia, separamos f em função externa e interna. Definimos u(x,y) = (x–y)^2 como função interna e g(u) = arctan(u) como função externa. Assim f(x,y) = g(u(x,y)).
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais de u em relação a x e a y. Como u = (x–y)^2, temos
Passo 4
Agora aplicamos a regra da cadeia. A derivada de g(u)=arctan(u) é g’(u)=1/(1+u^2). Logo:
Aplicando para x:
Aplicando para x:
E para y:
Substituindo u=(x–y)^2 obtemos as expressões finais.