Calcule as derivadas parciais de 1^varrho ordem das funções dadas:
f(x, y)=arctan ((x-y)^2);

Passo 1

Vamos primeiro entender o que a questão pede: temos a função f(x,y)=arctan((x–y)^2) e precisamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem. O conteúdo central aqui é derivada parcial e aplicação da regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Para usar a regra da cadeia, separamos f em função externa e interna. Definimos u(x,y) = (x–y)^2 como função interna e g(u) = arctan(u) como função externa. Assim f(x,y) = g(u(x,y)).

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais de u em relação a x e a y. Como u = (x–y)^2, temos
partial upartial x = 2(xy) e partial upartial y = 2(xy)cdot(-1) = -2(xy)

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia. A derivada de g(u)=arctan(u) é g’(u)=1/(1+u^2). Logo:
Aplicando para x:
partial fpartial x = g'(u)cdot partial upartial x = 11+u^2cdot 2(xy)
E para y:
partial fpartial y = g'(u)cdot partial upartial y = 11+u^2cdot (-2(xy))
Substituindo u=(x–y)^2 obtemos as expressões finais.

Resposta

partial fpartial x = 2(x-y)1+(x-y)^4, partial fpartial y = -2(x-y)1+(x-y)^4

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