Como para (x,y)≠(0,0) a função é combinação de polinômios e racionais com denom≠0, ela tem derivadas contínuas ali e, portanto, é diferenciável em ℝ²∖{(0,0)}.
Passo 7
Em (0,0), o candidato a diferencial linear é L(h,k)=f_x(0,0)h+f_y(0,0)k=-2h. O erro é
f(h,k)-L(h,k)=-2h^3h^2+k^2+2h=2hk^2h^2+k^2
Dividindo pela norma r=√(h²+k²) e indo a zero em polares, obtemos o limite
2|cosθ|sin^2θ,
que depende de θ e não tende a zero, logo f não é diferenciável em (0,0).
Resposta
O conjunto de continuidade de f é R^2. A função é diferenciável em R^2setminus(0,0), mas não em (0,0). As derivadas parciais de primeira ordem são: