Seja f(x, y)=cc-2 x^3x^2+y^2, & (x, y) neq(0,0) 0 & (x, y)=(0,0) Detremine o conjunto dos pontos de continuidade de f. Esta função é diferenciável em R^2 ? Justifique! Calcule as suas derivadas parciais de 1^O ordem.

Passo 1

A questão define a função f:ℝ²→ℝ por
f(x,y)= -2x^3x^2+y^2,& (x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0)
Vamos determinar o conjunto de continuidade, estudar a diferenciabilidade e calcular as derivadas parciais de primeira ordem.

Passo 2

Para (x,y)≠(0,0), f é razão de polinômios com denominador x²+y²≠0, portanto é contínua em todos esses pontos.

Passo 3

Em (0,0), usamos coordenadas polares x=r cosθ, y=r sinθ. Então
f(r,θ)=-2(rcosθ)^3r^2=-2rcos^3θto0(rto0),
que coincide com f(0,0)=0. Logo f é contínua em (0,0).

Passo 4

Pela definição de derivada parcial em (0,0):
fx(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h=limhto0-2h^3/(h^2+0)h=limhto0-2hh=-2,
fy(0,0)=limkto0f(0,k)-0k=limkto00k=0

Passo 5

Para (x,y)≠(0,0), aplicamos a regra do quociente a f(x,y)=−2x³/(x²+y²). Calcula-se:
fx(x,y)=-6x^2(x^2+y^2)+4x^4(x^2+y^2)^2= rac-2x^2(x^2+3y^2)(x^2+y^2)^2,
fy(x,y)=4x^3y(x^2+y^2)^2

Passo 6

Como para (x,y)≠(0,0) a função é combinação de polinômios e racionais com denom≠0, ela tem derivadas contínuas ali e, portanto, é diferenciável em ℝ²∖{(0,0)}.

Passo 7

Em (0,0), o candidato a diferencial linear é L(h,k)=f_x(0,0)h+f_y(0,0)k=-2h. O erro é
f(h,k)-L(h,k)=-2h^3h^2+k^2+2h=2hk^2h^2+k^2
Dividindo pela norma r=√(h²+k²) e indo a zero em polares, obtemos o limite
2|cosθ|sin^2θ,
que depende de θ e não tende a zero, logo f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

O conjunto de continuidade de f é R^2. A função é diferenciável em R^2setminus(0,0), mas não em (0,0). As derivadas parciais de primeira ordem são:
fx(0,0)=-2, fy(0,0)=0;
para (x,y)neq(0,0):
fx(x,y)=-2x^2(x^2+3y^2)(x^2+y^2)^2, fy(x,y)=4x^3y(x^2+y^2)^2

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