Calcule as derivadas parciais:
z=x z ln (x^2+y^2+z^2)

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
z = x,z,lnl(x^2+y^2+z^2r)
e pede as derivadas parciais partial z/partial x e partial z/partial y. Vamos usar diferenciação implícita, definindo a função
F(x,y,z)=z - x,z,lnl(x^2+y^2+z^2r)
e aplicando
partial zpartial x = -FxFz, partial zpartial y = -FyFz

Passo 2

Calculamos Fx. Note que u=x^2+y^2+z^2.
Fx = partialpartial xl[z - x,z,ln ur] = 0 - l[z,ln u + x,zcdot1ucdot2xr] = -,z,ln u ;-;2x^2zu

Passo 3

Calculamos Fy:
Fy = partialpartial yl[z - x,z,ln ur] = 0 - l[x,zcdot1ucdot2yr] = -,2x,y,zu

Passo 4

Calculamos Fz:
Fz = partialpartial zl[z - x,z,ln ur] = 1 - l[x,ln u + x,zcdot1ucdot2zr] = 1 - x,ln u ;-;2x,z^2u

Passo 5

Agora obtemos as derivadas parciais:
partial zpartial x = -FxFz = --,z,ln u - 2x^2zu1 - x,ln u - 2x,z^2u = z,ln u + dfrac2x^2zu1 - x,ln u - dfrac2x,z^2u,
partial zpartial y = -FyFz = --,dfrac2x,y,zu1 - x,ln u - dfrac2x,z^2u = dfrac2x,y,zu1 - x,ln u - dfrac2x,z^2u

Resposta

partial zpartial x = z,lnl(x^2+y^2+z^2r) +dfrac2x^2z,x^2+y^2+z^2, 1 - x,lnl(x^2+y^2+z^2r) -dfrac2x,z^2,x^2+y^2+z^2,,
partial zpartial y = dfrac2x,y,z,x^2+y^2+z^2, 1 - x,lnl(x^2+y^2+z^2r) -dfrac2x,z^2,x^2+y^2+z^2,

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