Determine as derivadas parciais de segunda ordem ( fx x, fx y e fy y ).
f(x, y)=sen^2(m x+n y)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem de
f(x,y)=sin^2l(m x + n yr)
O conteúdo principal envolvido é derivada parcial de funções compostas, usando a regra da cadeia e a identidade trigonométrica
sin(2u)=2sin(u)cos(u). Primeiro vamos achar fx e fy, depois fxx, fxy e fyy.

Passo 2

Defina
u = m x + n y,
de modo que f(x,y)=sin^2(u). Pela regra da cadeia e pela identidade sin(2u)=2sin(u)cos(u), temos
fx = partialpartial xl[sin^2(u)r] = 2sin(u)cos(u),partial upartial x = 2sin(u)cos(u),m = m,sinl(2ur)
Analogamente,
fy = n,sinl(2ur)

Passo 3

Agora calculamos fxx e fxy. Como
fx = m,sinl(2ur),
usamos regra da cadeia de novo:
fxx = partialpartial xl[msin(2u)r] = mcosl(2ur),2,partial upartial x = mcdot 2,mcosl(2ur) = 2m^2cosl(2ur)
E
fxy = partialpartial yl[msin(2u)r] = mcosl(2ur),2,partial upartial y = mcdot 2,ncosl(2ur) = 2mncosl(2ur)

Passo 4

Finalmente, como
fy = n,sinl(2ur),
temos
fyy = partialpartial yl[nsin(2u)r] = ncosl(2ur),2,partial upartial y = ncdot 2,ncosl(2ur) = 2n^2cosl(2ur)

Resposta

fxx(x,y)=2m^2cosl(2(mx+ny)r),
fxy(x,y)=2mncosl(2(mx+ny)r),
fyy(x,y)=2n^2cosl(2(mx+ny)r)

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