Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-1)^{2 n}}{n 4^{n}}

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-1)^{2n}}{n\,4^n}.
Isso é um problema de séries de potências em x, e vamos usar o teste da razão para achar o raio e depois testar os extremos.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão à geral termo
a_n = \frac{(x-1)^{2n}}{n\,4^n}.
Calculemos
L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{(x-1)^{2(n+1)}}{(n+1)4^{n+1}}\;\frac{n\,4^n}{(x-1)^{2n}}\right| = \lim_{n\to\infty}\frac{|x-1|^2}{4}\,\frac{n}{n+1} = \frac{|x-1|^2}{4}.
Pela condição de convergência do teste da razão, precisamos de L<1.

Passo 3

Da desigualdade
\frac{|x-1|^2}{4}<1
segue
|x-1|^2<4 \qquad\Longrightarrow\qquad |x-1|<2.
Logo o raio de convergência é
R = 2.
O domínio de convergência aberto é
1-2 < x < 1+2 \quad\Longrightarrow\quad -1 < x < 3.

Passo 4

Testando o extremo x=3:
(x-1)^{2n}=(3-1)^{2n}=2^{2n}=4^n
e o termo geral vira
\frac{4^n}{n\,4^n}=\frac1n.
A série \sum1/n diverge (série harmônica), logo em x=3 não converge.

Passo 5

Testando o extremo x=-1:
(x-1)^{2n}=(-1-1)^{2n}=(-2)^{2n}=4^n
o que de novo dá termo \tfrac1n. Então em x=-1 também não converge.

Resposta

Raio de convergência: R=2.
Intervalo de convergência: -1 < x < 3.

Exercícios relacionados