Sabendo-se que \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{+\infty} x^{n} para todo x \in(-1,1), encontre a série de Maclaurin de f(x)=\frac{x^{2}}{x-2}.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a série de Maclaurin de
f(x)=\frac{x^{2}}{x-2}
sabendo que
\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}
para |x|<1. O conteúdo envolvido é expansão em série de potências usando a série geométrica, e vamos precisar reescrever f(x) num formato do tipo 1/(1-t).
Passo 2
Reescrevemos
f(x)=\frac{x^{2}}{x-2}
fatorando -1/2 de modo a ter 1/(1-\text{algo}). Observe que