Sabendo-se que \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{+\infty} x^{n} para todo x \in(-1,1), encontre a série de Maclaurin de f(x)=\frac{x^{2}}{x-2}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a série de Maclaurin de
f(x)=\frac{x^{2}}{x-2}
sabendo que
\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}
para |x|<1. O conteúdo envolvido é expansão em série de potências usando a série geométrica, e vamos precisar reescrever f(x) num formato do tipo 1/(1-t).

Passo 2

Reescrevemos
f(x)=\frac{x^{2}}{x-2}
fatorando -1/2 de modo a ter 1/(1-\text{algo}). Observe que
x-2=-2\Bigl(1-\frac{x}{2}\Bigr),
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f(x)=\frac{x^{2}}{-2\bigl(1-\frac{x}{2}\bigr)} =-\frac{x^{2}}{2}\;\frac{1}{1-\frac{x}{2}}.

Passo 3

Aplicamos a série geométrica
\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty}t^{n},
válida para |t|<1. Aqui tomamos t=\frac{x}{2}, que converge se \bigl|\tfrac{x}{2}\bigr|<1, isto é |x|<2.

Passo 4

Substituindo t=x/2 na série geométrica e multiplicando por -x^{2}/2, obtemos
\frac{1}{1-\frac{x}{2}} =\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{2^{n}},
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f(x)=-\frac{x^{2}}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{2^{n}} =-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+2}}{2^{n+1}}.

Passo 5

Para escrever em forma padrão de série de Maclaurin, reindexamos: seja k=n+2, então n=k-2 e k vai de 2 até infinito. Assim
f(x)=-\sum_{k=2}^{\infty}\frac{x^{k}}{2^{k-1}}.
Podemos também dizer que os coeficientes a_{k} de f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}x^{k} são
a_{0}=0,\quad a_{1}=0,\quad a_{k}=-\frac{1}{2^{\,k-1}}\\ \\ (k\ge2).

Resposta

f(x)=-\sum_{k=2}^{\infty}\frac{x^{k}}{2^{\,k-1}},
válida para \lvert x\rvert<2.

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