Calcule as derivadas:
(2,0 pontos) f(x)=\frac{5{-x}}{x{2}+2{x}}-(1+\frac{1}{x}){x}

Passo 1

O problema pede para calcular a derivada da função
f(x)=\frac{5^{-x}}{x^{2}+2^{x}}-\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função é a diferença de duas partes: a primeira é uma fração \dfrac{5^{-x}}{x^{2}+2^{x}} e a segunda é uma potência com base e expoente que dependem de x, \left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x}.
  • Temos que derivar cada parcela e depois combinar (derivada da diferença = diferença das derivadas).

Passo 2

Derivando a primeira parcela: vamos usar a regra do quociente. Recordando a fórmula (aqui explicadinha): se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, então
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
No nosso caso tomamos
u(x)=5^{-x},\qquad v(x)=x^{2}+2^{x}.
Agora preciso das derivadas u'(x) e v'(x).

Passo 3

Derivada de u(x)=5^{-x}. Para potencia de base constante com função no expoente usamos a forma prática: se a é constante e g(x) função, então
\frac{d}{dx}a^{g(x)}=a^{g(x)}\cdot g'(x)\cdot\ln a.
Aqui a=5 e g(x)=-x, então g'(x)=-1. Portanto
u'(x)=\frac{d}{dx}5^{-x}=5^{-x}\cdot(-1)\cdot\ln 5=-\ln 5\;5^{-x}.
Derivada de v(x)=x^{2}+2^{x}. A soma deriva termo a termo. Para x^{2} a derivada é 2x. Para 2^{x} aplicamos a mesma regra de expoente: \dfrac{d}{dx}2^{x}=2^{x}\ln 2. Logo
v'(x)=2x+2^{x}\ln 2.

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
\left(\frac{5^{-x}}{x^{2}+2^{x}}\right)'= \frac{u'v-uv'}{v^{2}} = \frac{\big(-\ln 5\;5^{-x}\big)(x^{2}+2^{x})-5^{-x}\big(2x+2^{x}\ln 2\big)}{(x^{2}+2^{x})^{2}}.
Podemos fatorar 5^{-x} no numerador para simplificar a aparência:
\left(\frac{5^{-x}}{x^{2}+2^{x}}\right)'= \frac{5^{-x}\left[-\ln5\,(x^{2}+2^{x})-(2x+2^{x}\ln2)\right]}{(x^{2}+2^{x})^{2}}.
Juntando os termos que envolvem 2^{x}:
-\ln5\cdot 2^{x}-2^{x}\ln2=-2^{x}(\ln5+\ln2)=-2^{x}\ln(10).
Assim uma forma um pouco mais compacta do numerador é
5^{-x}\Big(-\ln5\;x^{2}-2x-2^{x}\ln(10)\Big).

Passo 5

Derivando a segunda parcela \left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x}. Aqui a base e o expoente dependem de x, então o melhor é usar diferenciação logarítmica. A ideia: defina y=u(x)^{v(x)}, faça \ln y = v(x)\ln u(x), derivate ambos os lados e isole y'.
Fórmula geral (resultado da log-diferenciação):
\frac{d}{dx}\big(u(x)^{v(x)}\big)=u(x)^{v(x)}\left(v'(x)\ln u(x)+v(x)\frac{u'(x)}{u(x)}\right),
válida quando u(x)>0.
No nosso caso u(x)=1+\dfrac{1}{x} e v(x)=x. Calculamos:
u'(x)=\frac{d}{dx}\left(1+\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^{2}}, \qquad v'(x)=1.
Agora
\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{-\dfrac{1}{x^{2}}}{1+\dfrac{1}{x}} = -\frac{1}{x^{2}}\cdot\frac{1}{\dfrac{x+1}{x}} = -\frac{1}{x^{2}}\cdot\frac{x}{x+1} = -\frac{1}{x(x+1)}.
Aplicando a fórmula:
\frac{d}{dx}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x} =\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\left(\underbrace{1}_{v'(x)}\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)+x\cdot\left(-\frac{1}{x(x+1)}\right)\right).
O segundo termo simplifica:
x\cdot\left(-\frac{1}{x(x+1)}\right)=-\frac{1}{x+1}.
Portanto
\frac{d}{dx}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x} =\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\left(\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{x+1}\right).

Passo 6

Agora juntamos as duas derivadas: como f(x)= primeira parcela - segunda parcela, temos
f'(x)=\left(\frac{5^{-x}}{x^{2}+2^{x}}\right)'-\frac{d}{dx}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}.
Substituindo as expressões que obtivemos:
f'(x)= \frac{5^{-x}\big(-\ln5\,(x^{2}+2^{x})-(2x+2^{x}\ln2)\big)}{(x^{2}+2^{x})^{2}} - \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\left(\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{x+1}\right).
Podemos escrever o numerador da primeira fração de forma mais compacta como fiz antes, por exemplo:
5^{-x}\Big(-\ln5\;x^{2}-2x-2^{x}\ln(10)\Big)
(se desejar usar \ln(10)=\ln2+\ln5). Ambas as formas estão corretas.

Resposta

f'(x)= \frac{5^{-x}\big(-\ln5\,(x^{2}+2^{x})-(2x+2^{x}\ln2)\big)}{(x^{2}+2^{x})^{2}} - \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\left(\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{x+1}\right)

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