A função é a diferença de duas partes: a primeira é uma fração \dfrac{5^{-x}}{x^{2}+2^{x}} e a segunda é uma potência com base e expoente que dependem de x, \left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x}.
Temos que derivar cada parcela e depois combinar (derivada da diferença = diferença das derivadas).
Passo 2
Derivando a primeira parcela: vamos usar a regra do quociente. Recordando a fórmula (aqui explicadinha): se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, então
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
No nosso caso tomamos
u(x)=5^{-x},\qquad v(x)=x^{2}+2^{x}.
Agora preciso das derivadas u'(x) e v'(x).
Passo 3
Derivada de u(x)=5^{-x}. Para potencia de base constante com função no expoente usamos a forma prática: se a é constante e g(x) função, então
\frac{d}{dx}a^{g(x)}=a^{g(x)}\cdot g'(x)\cdot\ln a.
Derivada de v(x)=x^{2}+2^{x}. A soma deriva termo a termo. Para x^{2} a derivada é 2x. Para 2^{x} aplicamos a mesma regra de expoente: \dfrac{d}{dx}2^{x}=2^{x}\ln 2. Logo
Assim uma forma um pouco mais compacta do numerador é
5^{-x}\Big(-\ln5\;x^{2}-2x-2^{x}\ln(10)\Big).
Passo 5
Derivando a segunda parcela \left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x}. Aqui a base e o expoente dependem de x, então o melhor é usar diferenciação logarítmica. A ideia: defina y=u(x)^{v(x)}, faça \ln y = v(x)\ln u(x), derivate ambos os lados e isole y'.