Calcule as derivadas:
(2,0 pontos) f(x)=x{x}+e{2 x}
\cdot
ln (2 x+1)
(2,0 pontos) f(x)=x{x}+e{2 x}
\cdot
ln (2 x+1)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função dada. As informações importantes que temos são:
- A função é
. - Portanto
é soma de dois termos: o primeiro é e o segundo é o produto . - Condições do domínio (importante para derivadas que envolvem
e ): pede . Para a fórmula real usual de consideramos . Assim trabalharemos em , que é a interseção natural das condições.
O que se pede explicitamente: encontrar
, a derivada de
em termos de
.
Passo 2
Antes de derivar, vamos recordar as regras que vamos usar (com explicação simples e intuitiva):
- Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se
, então . - Regra do produto: se
e são funções, . Pense assim: derivada pega variação de cada fator mantendo o outro. - Regra da cadeia: para uma composição
, a derivada é . Em geral, derivar algo que está “por dentro” multiplica pelo derivado do “por dentro”. - Derivada de
: . - Derivada de
: . - Para
(não é uma potência padrão com base fixa): reescrevemos como (válido para ) e aplicamos regra da cadeia.
Vou aplicar essas regras passo a passo.
Passo 3
Derivando o primeiro termo
.
Primeiro reescrever:
Agora definimos
. Vamos achar
usando regra do produto (pois
):
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Aplicando produto:
Agora aplicamos regra da cadeia para
:
Voltando para a forma original
, obtemos
Pequena intuição:
muda por duas razões — porque a base muda e porque o expoente muda; o termo
reúne essas duas contribuições.
Passo 4
Derivando o segundo termo
usando a regra do produto.
Seja
e
. Então
.
Calculamos
e
separadamente.
Passo 5
Calcular
.
Usamos regra da cadeia:
. Como
, temos
Passo 6
Calcular
.
Usamos a fórmula
com
. Aqui
. Logo
Passo 7
Aplicar a regra do produto:
Substituindo
:
Podemos fatorar
para simplificar:
Passo 8
Somando as derivadas (regra da soma): a derivada total é derivada de
mais derivada do produto.
Portanto
Ou, de forma factorada para a parte exponencial:
Lembrete: essa expressão vale para
, domínio onde usamos as manipulações acima.