Calcule as derivadas:
(2,0 pontos) f(x)=x{x}+e{2 x}
\cdot
ln (2 x+1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função dada. As informações importantes que temos são:
  • A função é f(x)=x^{x}+e^{2 x}\cdot \ln(2 x+1).
  • Portanto f é soma de dois termos: o primeiro é x^{x} e o segundo é o produto e^{2x}\cdot \ln(2x+1).
  • Condições do domínio (importante para derivadas que envolvem \ln e x^{x}): \ln(2x+1) pede 2x+1>0\Rightarrow x>-\tfrac{1}{2}. Para a fórmula real usual de x^{x} consideramos x>0. Assim trabalharemos em x>0, que é a interseção natural das condições.
O que se pede explicitamente: encontrar f'(x), a derivada de f em termos de x.

Passo 2

Antes de derivar, vamos recordar as regras que vamos usar (com explicação simples e intuitiva):
  • Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se f=g+h, então f'=g'+h'.
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'. Pense assim: derivada pega variação de cada fator mantendo o outro.
  • Regra da cadeia: para uma composição e^{u(x)}, a derivada é e^{u(x)}\cdot u'(x). Em geral, derivar algo que está “por dentro” multiplica pelo derivado do “por dentro”.
  • Derivada de \ln(u(x)): \displaystyle\frac{d}{dx}\ln(u(x))=\frac{u'(x)}{u(x)}.
  • Derivada de e^{ax}: \displaystyle\frac{d}{dx}e^{ax}=a e^{ax}.
  • Para x^{x} (não é uma potência padrão com base fixa): reescrevemos como x^{x}=e^{x\ln x} (válido para x>0) e aplicamos regra da cadeia.
Vou aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Derivando o primeiro termo \,x^{x}\,.
Primeiro reescrever:
x^{x}=e^{x\ln x}.
Agora definimos u(x)=x\ln x. Vamos achar u'(x) usando regra do produto (pois u(x)=x\cdot\ln x):
  • Derivada de x é 1.
  • Derivada de \ln x é \dfrac{1}{x}.
Aplicando produto:
u'(x)=1\cdot\ln x + x\cdot\frac{1}{x}=\ln x + 1.
Agora aplicamos regra da cadeia para e^{u(x)}:
\frac{d}{dx}x^{x}=\frac{d}{dx}e^{u(x)}=e^{u(x)}\cdot u'(x)=e^{x\ln x}\cdot(\ln x+1).
Voltando para a forma original e^{x\ln x}=x^{x}, obtemos
\frac{d}{dx}x^{x}=x^{x}\,(\ln x+1).
Pequena intuição: x^{x} muda por duas razões — porque a base muda e porque o expoente muda; o termo \ln x+1 reúne essas duas contribuições.

Passo 4

Derivando o segundo termo \,e^{2x}\cdot \ln(2x+1)\, usando a regra do produto.
Seja g(x)=e^{2x} e h(x)=\ln(2x+1). Então (g\cdot h)'=g' h + g h'.
Calculamos g'(x) e h'(x) separadamente.

Passo 5

Calcular g'(x)=\dfrac{d}{dx}e^{2x}.
Usamos regra da cadeia: \dfrac{d}{dx}e^{2x}=e^{2x}\cdot \dfrac{d}{dx}(2x). Como \dfrac{d}{dx}(2x)=2, temos
g'(x)=2e^{2x}.

Passo 6

Calcular h'(x)=\dfrac{d}{dx}\ln(2x+1).
Usamos a fórmula \dfrac{d}{dx}\ln(u(x))=\dfrac{u'(x)}{u(x)} com u(x)=2x+1. Aqui u'(x)=2. Logo
h'(x)=\frac{2}{2x+1}.

Passo 7

Aplicar a regra do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{2x}\cdot \ln(2x+1)\bigr)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x).
Substituindo g',g,h':
=2e^{2x}\cdot \ln(2x+1) + e^{2x}\cdot \frac{2}{2x+1}.
Podemos fatorar 2e^{2x} para simplificar:
=2e^{2x}\!\left(\ln(2x+1)+\frac{1}{2x+1}\right).

Passo 8

Somando as derivadas (regra da soma): a derivada total é derivada de x^{x} mais derivada do produto.
Portanto
f'(x)=x^{x}(\ln x+1) + 2e^{2x}\ln(2x+1) + \frac{2e^{2x}}{2x+1}.
Ou, de forma factorada para a parte exponencial:
f'(x)=x^{x}(\ln x+1) + 2e^{2x}\!\left(\ln(2x+1)+\frac{1}{2x+1}\right).
Lembrete: essa expressão vale para x>0, domínio onde usamos as manipulações acima.

Resposta

f'(x)=x^{x}(\ln x+1) + 2e^{2x}\ln(2x+1) + \frac{2e^{2x}}{2x+1}.

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