( 2,0 pontos) Calcule a seguinte integral utlizando o método de integral por partes:
\int x^{2}(\ln (x))^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int x^{2}(\ln(x))^{2}\,dx.
Informações relevantes que o enunciado dá:
\text{Integrando a função }x^{2}(\ln(x))^{2}\text{ em relação a }x.çãçã
Observação importante (tirada do próprio enunciado pela presença de \ln(x)): devemos trabalhar no domínio \,x>0, pois o logaritmo natural \ln(x) está definido aí. A partir daqui vamos manipular expressões algébricas e usar técnicas de integração para encontrar uma primitiva.

Passo 2

Apresento a técnica que vamos usar: a fórmula de integração por partes. Ela é a ferramenta que transforma uma integral do tipo \int u\,dv numa expressão mais simples. A fórmula é
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde u e v são funções de x, du é a diferencial de u e v é uma primitiva de dv. Explicando cada termo:
  • u é uma função que escolhemos para que sua derivada du fique mais simples.
  • dv é o resto da integral, e v é qualquer antiderivada de dv (ou seja, v' = dv/dx).
    A estratégia prática: escolher u de modo que \,du simplifique a expressão, e escolher dv que seja fácil de integrar para obter v.

Passo 3

Aplicando essa estratégia à integral \int x^{2}(\ln(x))^{2}\,dx:
  • Escolhemos u=(\ln(x))^{2} porque a derivada de (\ln(x))^{2} simplifica (aparece um fator 1/x).
  • Escolhemos dv = x^{2}\,dx porque é fácil de integrar.
Agora calculamos du e v:
du = \frac{d}{dx}\big((\ln(x))^{2}\big)\,dx = 2\ln(x)\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{2\ln(x)}{x}\,dx,
v = \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int x^{2}(\ln(x))^{2}\,dx = u v - \int v\,du.
Substituindo u, v e du que encontramos:
\int x^{2}(\ln(x))^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}(\ln(x))^{2} - \int \frac{x^{3}}{3}\cdot\frac{2\ln(x)}{x}\,dx.
Simplificando dentro da integral:
\int x^{2}(\ln(x))^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}(\ln(x))^{2} - \frac{2}{3}\int x^{2}\ln(x)\,dx.
Portanto agora precisamos calcular a integral mais simples \int x^{2}\ln(x)\,dx. Vamos chamá-la de J:
J=\int x^{2}\ln(x)\,dx.

Passo 5

Calcular J=\int x^{2}\ln(x)\,dx usando integração por partes novamente. Para J escolhemos:
  • u=\ln(x) (porque sua derivada é 1/x e simplifica),
  • dv = x^{2}\,dx.
Calculamos du e v:
du = \frac{1}{x}\,dx,
v = \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.
Aplicando a fórmula de partes:
J = \frac{x^{3}}{3}\ln(x) - \int \frac{x^{3}}{3}\cdot\frac{1}{x}\,dx.
Simplificando a integral:
J = \frac{x^{3}}{3}\ln(x) - \frac{1}{3}\int x^{2}\,dx.
Agora \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}, então
J = \frac{x^{3}}{3}\ln(x) - \frac{1}{3}\cdot\frac{x^{3}}{3} = \frac{x^{3}}{3}\ln(x) - \frac{x^{3}}{9}.

Passo 6

Voltamos à expressão da integral original que ficou em função de J:
\int x^{2}(\ln(x))^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}(\ln(x))^{2} - \frac{2}{3}J.
Substituindo J:
\int x^{2}(\ln(x))^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}(\ln(x))^{2} - \frac{2}{3}\left(\frac{x^{3}}{3}\ln(x) - \frac{x^{3}}{9}\right).
Distribuindo o -\dfrac{2}{3}:
\int x^{2}(\ln(x))^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}(\ln(x))^{2} - \frac{2x^{3}}{9}\ln(x) + \frac{2x^{3}}{27}.
Fatorando x^{3} para deixar mais compacto:
\int x^{2}(\ln(x))^{2}\,dx = x^{3}\left(\frac{1}{3}(\ln(x))^{2} - \frac{2}{9}\ln(x) + \frac{2}{27}\right) + C,
onde C é a constante de integração. Se preferir uma única fração comum:
\int x^{2}(\ln(x))^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{27}\big(9(\ln(x))^{2} - 6\ln(x) + 2\big) + C.

Resposta

\frac{x^{3}}{27}\big(9(\ln(x))^{2} - 6\ln(x) + 2\big) + C

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