( 2,0 pontos) Calcule a seguinte integral utlizando o método de integral por partes:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
Informações relevantes que o enunciado dá:
Observação importante (tirada do próprio enunciado pela presença de
): devemos trabalhar no domínio
, pois o logaritmo natural
está definido aí. A partir daqui vamos manipular expressões algébricas e usar técnicas de integração para encontrar uma primitiva.
Passo 2
Apresento a técnica que vamos usar: a fórmula de integração por partes. Ela é a ferramenta que transforma uma integral do tipo
numa expressão mais simples. A fórmula é
onde
e
são funções de
,
é a diferencial de
e
é uma primitiva de
. Explicando cada termo:
-
é uma função que escolhemos para que sua derivada fique mais simples. -
é o resto da integral, e é qualquer antiderivada de (ou seja, ).
A estratégia prática: escolherde modo que simplifique a expressão, e escolher que seja fácil de integrar para obter .
Passo 3
Aplicando essa estratégia à integral
:
- Escolhemos
porque a derivada de simplifica (aparece um fator ). - Escolhemos
porque é fácil de integrar.
Agora calculamos
e
:
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
e
que encontramos:
Simplificando dentro da integral:
Portanto agora precisamos calcular a integral mais simples
. Vamos chamá-la de
:
Passo 5
Calcular
usando integração por partes novamente. Para
escolhemos:
-
(porque sua derivada é e simplifica), -
.
Calculamos
e
:
Aplicando a fórmula de partes:
Simplificando a integral:
Agora
, então
Passo 6
Voltamos à expressão da integral original que ficou em função de
:
Substituindo
:
Distribuindo o
:
Fatorando
para deixar mais compacto:
onde
é a constante de integração. Se preferir uma única fração comum: