1. Determine a equação da reta tangente à parábola y=x^{2}, com inclinação m=-8. Faça um gráfico ilustrando a situação.

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à parábola y = x^2 cuja inclinação (coeficiente angular) é m = -8. Para isso precisamos usar a derivada de y=x^2 para achar o ponto onde a taxa de variação é -8, e então montar a equação da reta pelo ponto-slope.

Passo 2

A derivada de y=x^2 em qualquer x é
\frac{dy}{dx} = 2x.
Queremos \frac{dy}{dx} = -8, logo
2x = -8 \quad\Longrightarrow\quad x = -4.

Passo 3

O ponto de tangência tem abscissa x=-4 e ordenada
y = (-4)^2 = 16.
Portanto o ponto é P(-4,16).

Passo 4

A equação da reta com coeficiente angular -8 que passa por P(-4,16) vem da forma ponto-declive:
y - 16 = -8\,(x - (-4)) \quad\Longrightarrow\quad y - 16 = -8(x + 4).
Distribuindo e isolando y:
y = -8x - 32 + 16 \quad\Longrightarrow\quad y = -8x - 16.

Passo 5

Esboço do gráfico (parábola y=x^2 em traço contínuo e reta tangente y=-8x-16 em traço pontilhado):
y
^
30+ . . . .
| . .
20+ . .
| . P(-4,16) .
10+ . . .
| . . .
0+----------±—±---±—±---±—±---> x
-6 -4 - 20246\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet parábola y= x^{2} . . . .
• .
Na prática, a reta tangente toca a parábola exatamente em P(-4,16) e tem inclinação negativa, cruzando o eixo y em -16.

Resposta

A reta tangente é
\boxed{y = -8x - 16}.

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