Calcule as derivadas f^{\prime}(x), onde
f(x)=\arctan \left(\ln \left(x^{2}+1\right)\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede-se calcular a derivada \,f'(x)\, da função dada.
  • A função é \displaystyle f(x)=\arctan\!\big(\ln\!(x^{2}+1)\big).
  • Domínio implícito: x é um número real (a expressão \ln(x^{2}+1) está bem definida para todo x porque x^{2}+1>0 sempre).

Passo 2

Relembre a fórmula da derivada da função composta (regra da cadeia) e a derivada de \arctan.
  • Regra da cadeia (intuição): se F(x)=g(h(x)), então
F'(x)=g'\big(h(x)\big)\cdot h'(x).
Isto significa que primeiro deriva-se a função externa g avaliando-a em h(x), e depois multiplica-se pelo derivado da função interna h(x).
  • Derivada de \arctan(u) em função de u: se g(u)=\arctan(u), então
g'(u)=\frac{1}{1+u^{2}}.
Aqui u é uma função de x; depois pela regra da cadeia substitui-se u=h(x).

Passo 3

Identificar as camadas (quem é externa, quem é interna) na nossa função:
  • Função externa: g(u)=\arctan(u) com u=\ln(x^{2}+1).
  • Função intermediária: u(x)=\ln(v) com v(x)=x^{2}+1.
  • Função interna: v(x)=x^{2}+1.
Aplicaremos a regra da cadeia duas vezes: primeiro para \arctan(u(x)) e depois para u(x)=\ln(v(x)).

Passo 4

Derivar a camada mais interna v(x)=x^{2}+1.
  • Regra usada: derivada de x^{2} é 2x e derivada de constante é 0. Logo
v'(x)=2x.

Passo 5

Derivar a camada intermediária u(x)=\ln(v(x)), usando a regra da derivada do logaritmo e a regra da cadeia.
  • Derivada de \ln(t) em relação a t é \dfrac{1}{t}.
  • Aplicando a cadeia com t=v(x):
u'(x)=\frac{v'(x)}{v(x)}=\frac{2x}{x^{2}+1}.
Expliquei: primeiro derivei \ln obtendo 1/v, e multipliquei pelo derivado de v, que é 2x.

Passo 6

Derivar a função externa g(u)=\arctan(u) aplicada a u(x), usando novamente a regra da cadeia:
  • Derivada de \arctan(u) é \dfrac{1}{1+u^{2}}.
  • Aplicando a cadeia com u(x)=\ln(x^{2}+1):
f'(x)=\frac{1}{1+\big(\ln(x^{2}+1)\big)^{2}}\cdot u'(x).
Agora substituímos u'(x) que já calculamos no Passo 5:
f'(x)=\frac{1}{1+\big(\ln(x^{2}+1)\big)^{2}}\cdot\frac{2x}{x^{2}+1}.

Passo 7

Simplificar a expressão final e comentar:
  • Colocando tudo em uma fração única obtemos a forma mais compacta
f'(x)=\frac{2x}{(x^{2}+1)\big(1+\big(\ln(x^{2}+1)\big)^{2}\big)}.
  • Observação sobre domínio: esta expressão é válida para todo x\in\mathbb{R} porque x^{2}+1>0 e 1+(\ln(x^{2}+1))^{2}>0; nenhuma divisão por zero ocorre.

Resposta

f'(x)=\frac{2x}{(x^{2}+1)\bigl(1+\bigl(\ln(x^{2}+1)\bigr)^{2}\bigr)}

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