Calcule as derivadas
, onde
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pede-se calcular a derivada
da função dada. - A função é
. - Domínio implícito:
é um número real (a expressão está bem definida para todo porque sempre).
Passo 2
Relembre a fórmula da derivada da função composta (regra da cadeia) e a derivada de
.
- Regra da cadeia (intuição): se
, então
Isto significa que primeiro deriva-se a função externa
avaliando-a em
, e depois multiplica-se pelo derivado da função interna
.
- Derivada de
em função de : se , então
Aqui
é uma função de
; depois pela regra da cadeia substitui-se
.
Passo 3
Identificar as camadas (quem é externa, quem é interna) na nossa função:
- Função externa:
com . - Função intermediária:
com . - Função interna:
.
Aplicaremos a regra da cadeia duas vezes: primeiro para
e depois para
.
Passo 4
Derivar a camada mais interna
.
- Regra usada: derivada de
é e derivada de constante é . Logo
Passo 5
Derivar a camada intermediária
, usando a regra da derivada do logaritmo e a regra da cadeia.
- Derivada de
em relação a é . - Aplicando a cadeia com
:
Expliquei: primeiro derivei
obtendo
, e multipliquei pelo derivado de
, que é
.
Passo 6
Derivar a função externa
aplicada a
, usando novamente a regra da cadeia:
- Derivada de
é . - Aplicando a cadeia com
:
Agora substituímos
que já calculamos no Passo 5:
Passo 7
Simplificar a expressão final e comentar:
- Colocando tudo em uma fração única obtemos a forma mais compacta
- Observação sobre domínio: esta expressão é válida para todo
porque e ; nenhuma divisão por zero ocorre.