Calcule as derivadas f^{\prime}(x), onde
f(x)=\frac{e^{3 x^{2}+2 x+1}}{\ln \left(x^{2}+3 x\right)+\cos ^{2}\left(x^{3}+1\right)}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{e^{3x^{2}+2x+1}}{\ln\!\left(x^{2}+3x\right)+\cos^{2}\!\left(x^{3}+1\right)}
e pede para calcular f^{\prime}(x), a derivada de f em relação a x.
Informações relevantes que temos:
  • O numerador é e^{3x^{2}+2x+1}.
  • O denominador é \ln\!\left(x^{2}+3x\right)+\cos^{2}\!\left(x^{3}+1\right).
  • Para que f(x) esteja bem definida é necessário que o argumento do logaritmo seja positivo, isto é \,x^{2}+3x>0 (equivalente a x<-3 ou x>0). Além disso o denominador não pode ser zero; a derivada só vale onde o denominador for diferente de zero e onde o log está definido.
  • O que se pede: encontrar uma expressão para f^{\prime}(x) válida nos pontos do domínio onde tudo está definido.

Passo 2

Vou aplicar a regra do quociente. Se f(x)=\dfrac{N(x)}{D(x)}, então
f^{\prime}(x)=\frac{N'(x)D(x)-N(x)D'(x)}{[D(x)]^{2}}.
Aqui definimos, para organizar:
N(x)=e^{3x^{2}+2x+1},\qquad D(x)=\ln\!\left(x^{2}+3x\right)+\cos^{2}\!\left(x^{3}+1\right).
O plano: calcular N'(x) e D'(x) separadamente usando regra da cadeia e regras básicas, e depois montar a fórmula do quociente.

Passo 3

Derivando o numerador N(x)=e^{3x^{2}+2x+1}.
Fórmula útil (regra da cadeia): a derivada de e^{u(x)} é e^{u(x)}\cdot u'(x), porque a função exponencial é sua própria derivada e então multiplica-se pela derivada do expoente.
Aqui u(x)=3x^{2}+2x+1. Então
u'(x)=6x+2.
Portanto
N'(x)=e^{3x^{2}+2x+1}\cdot(6x+2).

Passo 4

Derivando o denominador D(x)=\ln\!\left(x^{2}+3x\right)+\cos^{2}\!\left(x^{3}+1\right).
Trata-se de soma, então D'(x) é a soma das derivadas das parcelas.
  1. Derivada de \ln\!\left(x^{2}+3x\right).
Fórmula útil (regra da cadeia para log): a derivada de \ln(v(x)) é \dfrac{v'(x)}{v(x)}.
Aqui v(x)=x^{2}+3x, logo v'(x)=2x+3. Assim
\frac{d}{dx}\ln\!\left(x^{2}+3x\right)=\frac{2x+3}{x^{2}+3x}.
  1. Derivada de \cos^{2}\!\left(x^{3}+1\right).
    Escrevendo \cos^{2}(w) como (\cos w)^{2}, usamos a regra da cadeia em duas etapas: a derivada de (\cos w)^{2} em relação a w é 2\cos w\cdot(-\sin w) (porque a derivada de \cos w é -\sin w), e depois multiplicamos por w'(x).
Aqui w(x)=x^{3}+1 e w'(x)=3x^{2}. Então
\frac{d}{dx}\cos^{2}\!\left(x^{3}+1\right)=2\cos\!\left(x^{3}+1\right)\cdot\bigl(-\sin\!\left(x^{3}+1\right)\bigr)\cdot 3x^{2}.
Multiplicando os fatores:
\frac{d}{dx}\cos^{2}\!\left(x^{3}+1\right)=-6x^{2}\cos\!\left(x^{3}+1\right)\sin\!\left(x^{3}+1\right).
Uma identidade trigonométrica útil (pode ajudar a simplificar) é 2\sin a\cos a=\sin(2a). Usando isso:
-6x^{2}\cos\!\left(x^{3}+1\right)\sin\!\left(x^{3}+1\right)=-3x^{2}\sin\!\bigl(2(x^{3}+1)\bigr).
Ambas as formas são equivalentes; a forma com \sin(2\cdot) é mais compacta.
Somando as duas derivadas obtemos D'(x):
D'(x)=\frac{2x+3}{x^{2}+3x}-6x^{2}\cos\!\left(x^{3}+1\right)\sin\!\left(x^{3}+1\right).
ou, de forma equivalente,
D'(x)=\frac{2x+3}{x^{2}+3x}-3x^{2}\sin\!\bigl(2(x^{3}+1)\bigr).

Passo 5

Agora aplicamos a regra do quociente com os N,N',D,D' já calculados.
A fórmula é
f^{\prime}(x)=\frac{N'(x)D(x)-N(x)D'(x)}{[D(x)]^{2}}.
Substituindo N(x)=e^{3x^{2}+2x+1} e N'(x)=e^{3x^{2}+2x+1}(6x+2), obtemos
f^{\prime}(x)=\frac{e^{3x^{2}+2x+1}(6x+2)\,D(x)-e^{3x^{2}+2x+1}\,D'(x)}{[D(x)]^{2}}.
Agora podemos fatorar e^{3x^{2}+2x+1} no numerador:
f^{\prime}(x)=e^{3x^{2}+2x+1}\cdot\frac{(6x+2)D(x)-D'(x)}{[D(x)]^{2}}.

Passo 6

Substituindo explicitamente D(x) e D'(x) na expressão, temos uma forma final expandida e legível.
Lembrando
D(x)=\ln\!\left(x^{2}+3x\right)+\cos^{2}\!\left(x^{3}+1\right),
e tomando a forma de D'(x) com a identidade trigonométrica aplicada, isto é
D'(x)=\frac{2x+3}{x^{2}+3x}-3x^{2}\sin\!\bigl(2(x^{3}+1)\bigr),
obtemos
f^{\prime}(x)=e^{3x^{2}+2x+1}\cdot \frac{(6x+2)\Bigl(\ln\!\left(x^{2}+3x\right)+\cos^{2}\!\left(x^{3}+1\right)\Bigr) -\displaystyle\frac{2x+3}{x^{2}+3x} +3x^{2}\sin\!\bigl(2(x^{3}+1)\bigr) }{\Bigl(\ln\!\left(x^{2}+3x\right)+\cos^{2}\!\left(x^{3}+1\right)\Bigr)^{2}}.
Esta é uma expressão correta e relativamente simplificada para f^{\prime}(x). Se preferir, pode manter a parte trigonométrica em termos de \cos e \sin sem usar \sin(2\cdot):
f^{\prime}(x)=e^{3x^{2}+2x+1}\cdot \frac{(6x+2)\Bigl(\ln\!\left(x^{2}+3x\right)+\cos^{2}\!\left(x^{3}+1\right)\Bigr) -\displaystyle\frac{2x+3}{x^{2}+3x} +6x^{2}\cos\!\left(x^{3}+1\right)\sin\!\left(x^{3}+1\right) }{\Bigl(\ln\!\left(x^{2}+3x\right)+\cos^{2}\!\left(x^{3}+1\right)\Bigr)^{2}}.

Resposta

f^{\prime}(x)=e^{3x^{2}+2x+1}\cdot \frac{(6x+2)\Bigl(\ln\!\left(x^{2}+3x\right)+\cos^{2}\!\left(x^{3}+1\right)\Bigr) -\displaystyle\frac{2x+3}{x^{2}+3x} +3x^{2}\sin\!\bigl(2(x^{3}+1)\bigr) }{\Bigl(\ln\!\left(x^{2}+3x\right)+\cos^{2}\!\left(x^{3}+1\right)\Bigr)^{2}}

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