Calcule as derivadas
, onde
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular
, a derivada de
em relação a
.
Informações relevantes que temos:
- O numerador é
. - O denominador é
. - Para que
esteja bem definida é necessário que o argumento do logaritmo seja positivo, isto é (equivalente a ou ). Além disso o denominador não pode ser zero; a derivada só vale onde o denominador for diferente de zero e onde o log está definido. - O que se pede: encontrar uma expressão para
válida nos pontos do domínio onde tudo está definido.
Passo 2
Vou aplicar a regra do quociente. Se
, então
Aqui definimos, para organizar:
O plano: calcular
e
separadamente usando regra da cadeia e regras básicas, e depois montar a fórmula do quociente.
Passo 3
Derivando o numerador
.
Fórmula útil (regra da cadeia): a derivada de
é
, porque a função exponencial é sua própria derivada e então multiplica-se pela derivada do expoente.
Aqui
. Então
Portanto
Passo 4
Derivando o denominador
.
Trata-se de soma, então é a soma das derivadas das parcelas.
Trata-se de soma, então
- Derivada de
.
Fórmula útil (regra da cadeia para log): a derivada de
é
.
Aqui , logo
. Assim
Aqui
- Derivada de
.
Escrevendocomo , usamos a regra da cadeia em duas etapas: a derivada de em relação a é (porque a derivada de é ), e depois multiplicamos por .
Aqui
e
. Então
Multiplicando os fatores:
Uma identidade trigonométrica útil (pode ajudar a simplificar) é
. Usando isso:
Ambas as formas são equivalentes; a forma com
é mais compacta.
Somando as duas derivadas obtemos
:
ou, de forma equivalente,
Passo 5
Agora aplicamos a regra do quociente com os
já calculados.
A fórmula é
Substituindo
e
, obtemos
Agora podemos fatorar
no numerador:
Passo 6
Substituindo explicitamente
e
na expressão, temos uma forma final expandida e legível.
Lembrando
e tomando a forma de
com a identidade trigonométrica aplicada, isto é
obtemos
Esta é uma expressão correta e relativamente simplificada para
. Se preferir, pode manter a parte trigonométrica em termos de
e
sem usar
: