Calcule as derivadas f^{\prime}(x), onde
f(x)=\left(\left(x^{7}+8 x\right)^{8}+3 x^{2}+1\right)^{10}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada f'(x) da função
f(x)=\left(\left(x^{7}+8 x\right)^{8}+3 x^{2}+1\right)^{10}.
Informações dadas:
  • A função é uma composição de potências e polinômios: uma potência de exposição 10 aplicada a uma soma que contém outra potência (\cdot)^{8} e um polinômio 3x^{2}+1.
  • Não há constantes ocultas nem parâmetros, apenas a variável x.
O que é pedido:
  • Calcular \,f'(x)\,, a derivada de f em função de x.

Passo 2

Ideia principal que vamos usar: regra da cadeia (chain rule) e derivada de potências/polinômios. Vou lembrar as fórmulas de forma simples:
  • Regra da cadeia: se F(x)=G(H(x)), então
F'(x)=G'\bigl(H(x)\bigr)\cdot H'(x).
Aqui G é a função externa e H a interna; G' é derivada de G em relação à sua variável e H' é derivada de H em relação a x.
  • Derivada de potência: se G(u)=u^{n} com n constante, então
G'(u)=n\,u^{\,n-1}.
  • Derivada de polinômio: derivada de a x^{k} é a k x^{k-1}. Por exemplo, \dfrac{d}{dx}x^{7}=7x^{6} e \dfrac{d}{dx}3x^{2}=6x.
Exemplo rápido e concreto: se f(x)=(h(x))^{10}, por regra da cadeia
f'(x)=10\,(h(x))^{9}\,h'(x).

Passo 3

Vamos identificar as camadas da composição na função dada. Defino funções auxiliares para ficar claro:
  • Seja \displaystyle A(x)=\bigl(x^{7}+8x\bigr)^{8}+3x^{2}+1. Então f(x)=\bigl(A(x)\bigr)^{10}.
Aplicando a regra da cadeia à composição f(x)=\bigl(A(x)\bigr)^{10}, obtemos
f'(x)=10\bigl(A(x)\bigr)^{9}\cdot A'(x).
Agora precisamos calcular explicitamente A'(x).

Passo 4

Calcular A'(x). Lembre que
A(x)=\bigl(x^{7}+8x\bigr)^{8}+3x^{2}+1.
A derivada de A é soma das derivadas dos termos:
A'(x)=\frac{d}{dx}\bigl((x^{7}+8x)^{8}\bigr)+\frac{d}{dx}(3x^{2})+\frac{d}{dx}(1).
  • \dfrac{d}{dx}(1)=0.
  • \dfrac{d}{dx}(3x^{2})=6x.
  • Para \dfrac{d}{dx}\bigl((x^{7}+8x)^{8}\bigr) aplicamos novamente a regra da cadeia: seja B(x)=x^{7}+8x. Então (B(x))^{8} tem derivada
\frac{d}{dx}\bigl((B(x))^{8}\bigr)=8\,(B(x))^{7}\cdot B'(x).
E B'(x)=\dfrac{d}{dx}(x^{7}+8x)=7x^{6}+8.
Portanto
\frac{d}{dx}\bigl((x^{7}+8x)^{8}\bigr)=8\,(x^{7}+8x)^{7}\,(7x^{6}+8).
Juntando tudo:
A'(x)=8\,(x^{7}+8x)^{7}\,(7x^{6}+8)+6x.

Passo 5

Substituir A'(x) em f'(x)=10\bigl(A(x)\bigr)^{9}\cdot A'(x). Lembrando que A(x)=\bigl(x^{7}+8x\bigr)^{8}+3x^{2}+1, temos
f'(x)=10\Bigl(\bigl(x^{7}+8x\bigr)^{8}+3x^{2}+1\Bigr)^{9}\Bigl(8\,(x^{7}+8x)^{7}\,(7x^{6}+8)+6x\Bigr).
Esse é o resultado final; pode-se deixar assim ou distribuir fatores, mas para prova é claro e elegante manter a fatoração por potência externa e a soma interna.

Passo 6

Dica rápida para a prova: identifique claramente as camadas (aqui: potência 10 externa, potência 8 no termo interno, e o polinômio x^{7}+8x). Derive de fora para dentro, multiplicando pelas derivadas das camadas internas. Anote funções auxiliares como A(x) e B(x) para evitar erros de sinais e expoentes. Vai dar certo — respira, identifica as camadas e aplica regra da cadeia passo a passo.

Resposta

f'(x)=10\Bigl(\bigl(x^{7}+8x\bigr)^{8}+3x^{2}+1\Bigr)^{9}\Bigl(8\,(x^{7}+8x)^{7}\,(7x^{6}+8)+6x\Bigr)

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