Calcule as derivadas
, onde
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada
da função
Informações dadas:
- A função é uma composição de potências e polinômios: uma potência de exposição
aplicada a uma soma que contém outra potência e um polinômio . - Não há constantes ocultas nem parâmetros, apenas a variável
.
O que é pedido:
- Calcular
, a derivada de em função de .
Passo 2
Ideia principal que vamos usar: regra da cadeia (chain rule) e derivada de potências/polinômios. Vou lembrar as fórmulas de forma simples:
- Regra da cadeia: se
, então
Aqui
é a função externa e
a interna;
é derivada de
em relação à sua variável e
é derivada de
em relação a
.
- Derivada de potência: se
com constante, então
- Derivada de polinômio: derivada de
é . Por exemplo, e .
Exemplo rápido e concreto: se
, por regra da cadeia
Passo 3
Vamos identificar as camadas da composição na função dada. Defino funções auxiliares para ficar claro:
- Seja
. Então .
Aplicando a regra da cadeia à composição
, obtemos
Agora precisamos calcular explicitamente
.
Passo 4
Calcular
. Lembre que
A derivada de
é soma das derivadas dos termos:
-
. -
. - Para
aplicamos novamente a regra da cadeia: seja . Então tem derivada
E
.
Portanto
Juntando tudo:
Passo 5
Substituir
em
. Lembrando que
, temos
Esse é o resultado final; pode-se deixar assim ou distribuir fatores, mas para prova é claro e elegante manter a fatoração por potência externa e a soma interna.
Passo 6
Dica rápida para a prova: identifique claramente as camadas (aqui: potência 10 externa, potência 8 no termo interno, e o polinômio
). Derive de fora para dentro, multiplicando pelas derivadas das camadas internas. Anote funções auxiliares como
e
para evitar erros de sinais e expoentes. Vai dar certo — respira, identifica as camadas e aplica regra da cadeia passo a passo.