Seja f: D=\mathbb{R} \backslash\{-7 / 5\} \rightarrow \mathbb{R} onde
f(x)=\frac{1}{5 x+7}
Seja x \in D. Utilizando a definição de derivada, calcule f^{\prime}(x).
Calcule f^{\prime}(x) pelas regras de derivação e compare os resultados.

Passo 1

O enunciado nos dá a função f: D=\mathbb{R}\setminus\{-7/5\}\to\mathbb{R} definida por
f(x)=\frac{1}{5x+7}.
O que é pedido:
  • Calcular f'(x) usando a definição de derivada (limite do quociente incremental).
  • Calcular f'(x) usando as regras de derivação (formas mais rápidas).
  • Comparar os resultados (verificar se coincidem).
Informações relevantes fornecidas:
  • Domínio D=\mathbb{R}\setminus\{-7/5\}, portanto 5x+7\neq0 para todo x\in D. Isso evita divisão por zero nas manipulações.
  • A função é uma razão simples 1/(5x+7); tanto a definição por limite quanto a regra do poder/chaîne são aplicáveis.

Passo 2

Lembrando a definição de derivada: para x\in D,
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Explicando cada símbolo:
  • h é um pequeno incremento em x.
  • \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} é a razão incrementaI média (variação de f sobre variação de x).
  • O limite quando h\to0 pega a variação instantânea, que é a derivada no ponto x.
Agora aplicamos essa definição à nossa função.

Passo 3

Calcular o quociente incremental explicitamente:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{\dfrac{1}{5(x+h)+7}-\dfrac{1}{5x+7}}{h}.
Primeiro simplificamos a diferença de frações no numerador, colocando em denominador comum:
\frac{1}{5(x+h)+7}-\frac{1}{5x+7} = \frac{5x+7 - \bigl(5(x+h)+7\bigr)}{\bigl(5(x+h)+7\bigr)(5x+7)}.

Passo 4

Expandindo e simplificando o numerador:
5(x+h)+7 = 5x+5h+7,
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5x+7 - \bigl(5x+5h+7\bigr) = -5h.
Portanto
\frac{1}{5(x+h)+7}-\frac{1}{5x+7}=\frac{-5h}{\bigl(5(x+h)+7\bigr)(5x+7)}.
Substituindo isso no quociente incremental:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\dfrac{-5h}{\bigl(5(x+h)+7\bigr)(5x+7)}}{h}.

Passo 5

Cancelar o fator h (desde que h\neq0, e depois tomamos o limite):
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{-5h}{h\bigl(5(x+h)+7\bigr)(5x+7)}=\frac{-5}{\bigl(5(x+h)+7\bigr)(5x+7)}.
Agora tomamos o limite quando h\to0. Como 5(x+h)+7 é contínuo em h e 5x+7\neq0 (pois x\in D), obtemos
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{-5}{\bigl(5(x+h)+7\bigr)(5x+7)}=\frac{-5}{(5x+7)(5x+7)}=\frac{-5}{(5x+7)^2}.

Passo 6

Agora calculamos f'(x) pelas regras de derivação (modo rápido) para comparar.
Reescreve-se f como potência:
f(x)=(5x+7)^{-1}.
Usa-se a regra da cadeia: se g(x)=(5x+7) e f(x)=g(x)^{-1}, então
f'(x)=-1\cdot g(x)^{-2}\cdot g'(x).
Aqui g'(x)=\dfrac{d}{dx}(5x+7)=5. Assim
f'(x)=-1\cdot(5x+7)^{-2}\cdot5=-5(5x+7)^{-2}=\frac{-5}{(5x+7)^2}.

Passo 7

Comparação e interpretação final:
  • O resultado obtido pela definição de derivada foi \dfrac{-5}{(5x+7)^2}.
  • O resultado obtido pelas regras de derivação foi \dfrac{-5}{(5x+7)^2}.
    Portanto ambos coincidem, como esperado. A derivada existe para todo x\in D=\mathbb{R}\setminus\{-7/5\}.

Resposta

Pela definição: f'(x)=-\dfrac{5}{(5x+7)^2}
Pelas regras de derivação: f'(x)=-\dfrac{5}{(5x+7)^2}

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