Seja
onde
Seja
. Utilizando a definição de derivada, calcule
.
Calcule
pelas regras de derivação e compare os resultados.
Calcule
Passo 1
O enunciado nos dá a função
definida por
O que é pedido:
- Calcular
usando a definição de derivada (limite do quociente incremental). - Calcular
usando as regras de derivação (formas mais rápidas). - Comparar os resultados (verificar se coincidem).
Informações relevantes fornecidas:
- Domínio
, portanto para todo . Isso evita divisão por zero nas manipulações. - A função é uma razão simples
; tanto a definição por limite quanto a regra do poder/chaîne são aplicáveis.
Passo 2
Lembrando a definição de derivada: para
,
Explicando cada símbolo:
-
é um pequeno incremento em . -
é a razão incrementaI média (variação de sobre variação de ). - O limite quando
pega a variação instantânea, que é a derivada no ponto .
Agora aplicamos essa definição à nossa função.
Passo 3
Calcular o quociente incremental explicitamente:
Primeiro simplificamos a diferença de frações no numerador, colocando em denominador comum:
Passo 4
Expandindo e simplificando o numerador:
logo
Portanto
Substituindo isso no quociente incremental:
Passo 5
Cancelar o fator
(desde que
, e depois tomamos o limite):
Agora tomamos o limite quando
. Como
é contínuo em
e
(pois
), obtemos
Passo 6
Agora calculamos
pelas regras de derivação (modo rápido) para comparar.
Reescreve-se
como potência:
Usa-se a regra da cadeia: se
e
, então
Aqui
. Assim
Passo 7
Comparação e interpretação final:
- O resultado obtido pela definição de derivada foi
. - O resultado obtido pelas regras de derivação foi
.
Portanto ambos coincidem, como esperado. A derivada existe para todo.
Resposta
Pela definição:
Pelas regras de derivação:
Pelas regras de derivação: