GUIDORIZZI Um balão de formato perfeitamente esférico está sendo inflado por meio de uma bomba pneumática injetora, expandindo seu volume a uma taxa constante de \mathbf{8 0 ~} \mathbf{c m}^{\mathbf{3}} \boldsymbol{/} \mathbf{s}. Determine a taxa com que a área de superfície externa total da película do balão está aumentando no instante exato em que o raio da esfera atingir o valor de \mathbf{1 0 ~ c m}.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais são os dados fornecidos:
  • Pede: a taxa com que a área de superfície externa total da película do balão está aumentando no instante em que o raio vale 10\\ \mathrm{cm}.
  • Dados fornecidos:
    • A forma do balão é uma esfera perfeita.
    • A taxa de variação do volume é constante e vale \dfrac{dV}{dt}=80\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{s}.
    • O instante de interesse é quando o raio vale r=10\\ \mathrm{cm}.
  • O que precisamos encontrar: \dfrac{dS}{dt} no instante em que r=10\\ \mathrm{cm}, onde S é a área de superfície da esfera.

Passo 2

Fórmulas fundamentais (explicadas):
  • Volume de uma esfera: o volume V em função do raio r é dado por
V=\frac{4}{3}\pi r^{3}.
Aqui V é o volume em \mathrm{cm}^3, \pi é a constante geométrica e r é o raio em \mathrm{cm}.
  • Área de superfície de uma esfera: a área S em função do raio r é
S=4\pi r^{2}.
Aqui S é a área em \mathrm{cm}^2.

Passo 3

Relacionando as taxas de variação no tempo (regra da cadeia):
  • Como V e S dependem de r, e r depende do tempo t, usamos diferenciação em relação a t.
  • Diferenciando V=\dfrac{4}{3}\pi r^{3} em relação a t (aplicando a regra da cadeia):
\frac{dV}{dt}=4\pi r^{2}\frac{dr}{dt}.
Explicação: derivada de r^{3} é 3r^{2}, que multiplicada por \dfrac{4}{3}\pi 4\pi r^{2}, e depois multiplicamos por \dfrac{dr}{dt} porque r varia com o tempo.
  • Diferenciando S=4\pi r^{2} em relação a t:
\frac{dS}{dt}=8\pi r\frac{dr}{dt}.
Explicação: derivada de r^{2} é 2r, multiplicada por 4\pi 8\pi r, e novamente multiplicamos por \dfrac{dr}{dt}.

Passo 4

Isolar \dfrac{dr}{dt} usando a relação do volume:
  • Da fórmula
\frac{dV}{dt}=4\pi r^{2}\frac{dr}{dt},
isola-se \dfrac{dr}{dt}:
\frac{dr}{dt}=\frac{1}{4\pi r^{2}}\frac{dV}{dt}.
Explicação: divide-se ambos os lados por 4\pi r^{2} para obter a taxa de variação do raio.

Passo 5

Substituir \dfrac{dr}{dt} na expressão de \dfrac{dS}{dt} e simplificar:
  • Começando de
\frac{dS}{dt}=8\pi r\frac{dr}{dt},
substitui-se \dfrac{dr}{dt} obtido no passo anterior:
\frac{dS}{dt}=8\pi r\left(\frac{1}{4\pi r^{2}}\frac{dV}{dt}\right).
  • Simplificando os fatores:
\frac{dS}{dt}=\frac{8\pi r}{4\pi r^{2}}\frac{dV}{dt}=\frac{2}{r}\frac{dV}{dt}.
Explicação: \dfrac{8\pi r}{4\pi r^{2}}=\dfrac{8}{4}\cdot\dfrac{\pi}{\pi}\cdot\dfrac{r}{r^{2}}=2\cdot\dfrac{1}{r}=\dfrac{2}{r}.

Passo 6

Calcular numericamente no instante r=10\\ \mathrm{cm} com \dfrac{dV}{dt}=80\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{s}:
  • Usando a fórmula
\frac{dS}{dt}=\frac{2}{r}\frac{dV}{dt},
substitui-se r=10 e \dfrac{dV}{dt}=80:
\frac{dS}{dt}=\frac{2}{10}\cdot 80.
  • Calculando:
\frac{dS}{dt}=0,2\cdot 80=16.
Unidade: como \dfrac{dV}{dt} estava em \mathrm{cm}^3/\mathrm{s} e dividimos por r em \mathrm{cm}, o resultado tem unidade \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}, que é a unidade correta para taxa de variação de área.

Passo 7

Checagem e interpretação rápida:
  • O resultado é positivo ( 16\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}), o que faz sentido: o balão está sendo inflado (volume aumenta), então a área também aumenta.
  • As unidades conferem e as contas foram feitas sem necessidade de calculadora.

Resposta

\,16\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}

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