GUIDORIZZI Um balão de formato perfeitamente esférico está sendo inflado por meio de uma bomba pneumática injetora, expandindo seu volume a uma taxa constante de
. Determine a taxa com que a área de superfície externa total da película do balão está aumentando no instante exato em que o raio da esfera atingir o valor de
.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais são os dados fornecidos:
- Pede: a taxa com que a área de superfície externa total da película do balão está aumentando no instante em que o raio vale
. - Dados fornecidos:
- A forma do balão é uma esfera perfeita.
- A taxa de variação do volume é constante e vale
. - O instante de interesse é quando o raio vale
.
- O que precisamos encontrar:
no instante em que , onde é a área de superfície da esfera.
Passo 2
Fórmulas fundamentais (explicadas):
- Volume de uma esfera: o volume
em função do raio é dado por
Aqui
é o volume em
,
é a constante geométrica e
é o raio em
.
- Área de superfície de uma esfera: a área
em função do raio é
Aqui
é a área em
.
Passo 3
Relacionando as taxas de variação no tempo (regra da cadeia):
- Como
e dependem de , e depende do tempo , usamos diferenciação em relação a . - Diferenciando
em relação a (aplicando a regra da cadeia):
Explicação: derivada de
é
, que multiplicada por
dá
, e depois multiplicamos por
porque
varia com o tempo.
- Diferenciando
em relação a :
Explicação: derivada de
é
, multiplicada por
dá
, e novamente multiplicamos por
.
Passo 4
Isolar
usando a relação do volume:
- Da fórmula
isola-se
:
Explicação: divide-se ambos os lados por
para obter a taxa de variação do raio.
Passo 5
Substituir
na expressão de
e simplificar:
- Começando de
substitui-se
obtido no passo anterior:
- Simplificando os fatores:
Explicação:
.
Passo 6
Calcular numericamente no instante
com
:
- Usando a fórmula
substitui-se
e
:
- Calculando:
Unidade: como
estava em
e dividimos por
em
, o resultado tem unidade
, que é a unidade correta para taxa de variação de área.
Passo 7
Checagem e interpretação rápida:
- O resultado é positivo (
), o que faz sentido: o balão está sendo inflado (volume aumenta), então a área também aumenta. - As unidades conferem e as contas foram feitas sem necessidade de calculadora.