Calcule as derivadas f^{\prime}(x), onde
f(x)=\frac{1+\operatorname{sen} x}{3-\operatorname{sen} x}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada f^{\prime}(x) da função
f(x)=\frac{1+\operatorname{sen} x}{3-\operatorname{sen} x}.
Informações dadas e objetivo:
  • A função é um quociente entre duas expressões que dependem de x.
  • Quero obter f^{\prime}(x) em forma simplificada.

Passo 2

Qual método usar e por quê (explicação didática):
  • Quando uma função é dada como \dfrac{u(x)}{v(x)} usa-se a regra do quociente. Essa regra é uma fórmula direta para derivar quocientes sem reescrever nada complicado.
  • A regra do quociente diz: se f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} então
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui u(x) e v(x) são funções quaisquer; u'(x) e v'(x) são as derivadas delas.
  • Identifico u e v na função:
u(x)=1+\operatorname{sen} x,\qquad v(x)=3-\operatorname{sen} x.
  • Agora calculo u'(x) e v'(x). Lembrete básico: a derivada de \operatorname{sen} x é \operatorname{cos} x. A derivada de uma constante é 0. Portanto:
u'(x)=0+\operatorname{cos} x=\operatorname{cos} x,
v'(x)=0-\operatorname{cos} x=-\operatorname{cos} x.

Passo 3

Aplicando a regra do quociente com os u, v, u' e v' que encontramos:
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}} =\frac{\operatorname{cos} x\,(3-\operatorname{sen} x)-(1+\operatorname{sen} x)\,(-\operatorname{cos} x)}{(3-\operatorname{sen} x)^{2}}.

Passo 4

Simplificação passo a passo do numerador:
  • Primeiro removo o parêntese com o sinal negativo:
\operatorname{cos} x\,(3-\operatorname{sen} x)-(1+\operatorname{sen} x)\,(-\operatorname{cos} x) =\operatorname{cos} x\,(3-\operatorname{sen} x)+\operatorname{cos} x\,(1+\operatorname{sen} x).
  • Agora somo os dois termos que têm fator comum \operatorname{cos} x:
\operatorname{cos} x\,(3-\operatorname{sen} x)+\operatorname{cos} x\,(1+\operatorname{sen} x) =\operatorname{cos} x\big((3-\operatorname{sen} x)+(1+\operatorname{sen} x)\big).
  • Dentro do parêntese os termos -\operatorname{sen} x e +\operatorname{sen} x se cancelam, sobrando 3+1=4. Logo
\operatorname{cos} x\big((3-\operatorname{sen} x)+(1+\operatorname{sen} x)\big)=\operatorname{cos} x\cdot 4=4\operatorname{cos} x.

Passo 5

Substituindo a simplificação do numerador na expressão da derivada:
f'(x)=\frac{4\operatorname{cos} x}{(3-\operatorname{sen} x)^{2}}.
Observação prática: o denominador (3-\operatorname{sen} x)^{2} nunca é zero porque \operatorname{sen} x\in[-1,1], logo 3-\operatorname{sen} x\ge 2. Assim a derivada está bem definida para todo x.

Resposta

f'(x)=\frac{4\operatorname{cos} x}{(3-\operatorname{sen} x)^{2}}

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