Utilize o método das frações parciais para encontrar a transformada inversa de Laplace de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada inversa de Laplace da fração
usando o método das frações parciais. Basicamente, vamos decompor essa fração em partes mais simples para facilitar a aplicação da transformada inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Isso vai nos ajudar a separar a fração em partes mais fáceis de trabalhar. Procuramos dois números que multiplicados dão 3 e somados dão -4. Esses números são -1 e -3. Então:
Passo 3
Agora que fatoramos o denominador, vamos escrever a fração original como uma soma de frações mais simples. A gente expressa
como:
Onde
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Para encontrar os valores de
e
, vamos multiplicar ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Passo 5
Agora, vamos escolher valores de
que facilitem a resolução. Primeiro, colocamos
:
Em seguida, colocamos
:
Passo 6
Agora que encontramos
e
, substituímos de volta na expressão das frações parciais:
Passo 7
Finalmente, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente. Sabemos que:
Então:
Resposta
A transformada inversa de Laplace é: