Utilize o método das frações parciais para encontrar a transformada inversa de Laplace de
s+1s^2-4 s+3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada inversa de Laplace da fração s+1s^2-4 s+3 usando o método das frações parciais. Basicamente, vamos decompor essa fração em partes mais simples para facilitar a aplicação da transformada inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador s^2 - 4s + 3. Isso vai nos ajudar a separar a fração em partes mais fáceis de trabalhar. Procuramos dois números que multiplicados dão 3 e somados dão -4. Esses números são -1 e -3. Então:
s^2 - 4s + 3 = (s - 1)(s - 3)

Passo 3

Agora que fatoramos o denominador, vamos escrever a fração original como uma soma de frações mais simples. A gente expressa s+1(s-1)(s-3) como:
s+1(s-1)(s-3) = As-1 + Bs-3
Onde A e B são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar os valores de A e B, vamos multiplicar ambos os lados da equação por (s-1)(s-3) para eliminar os denominadores:
s + 1 = A(s - 3) + B(s - 1)

Passo 5

Agora, vamos escolher valores de s que facilitem a resolução. Primeiro, colocamos s = 1:
1 + 1 = A(1 - 3) + B(1 - 1) 2 = A(-2) + 0 A = -1
Em seguida, colocamos s = 3:
3 + 1 = A(3 - 3) + B(3 - 1) 4 = 0 + B(2) B = 2

Passo 6

Agora que encontramos A = -1 e B = 2, substituímos de volta na expressão das frações parciais:
s+1(s-1)(s-3) = -1s-1 + 2s-3

Passo 7

Finalmente, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente. Sabemos que:
L^-11s-a = e^a t
Então:
L^-1-1s-1 = -e^t
L^-12s-3 = 2e^3t

Resposta

A transformada inversa de Laplace é:
L^-1s+1s^2-4 s+3 = -e^t + 2e^3t

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