Resolva as integrais indefinidas a seguir:
\int \cos \mathrm{x}-2 \mathrm{x}^{3} \mathrm{dx}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \bigl(\cos x - 2x^{3}\bigr)\,dx.
O conteúdo é integração de soma de funções e vamos usar a propriedade da linearidade da integral.

Passo 2

Pela linearidade da integral, podemos separar a soma em duas integrais:
\int \bigl(\cos x - 2x^{3}\bigr)\,dx = \int \cos x\,dx \;-\; \int 2x^{3}\,dx.

Passo 3

Para a primeira parte, lembramos que a derivada de \sin x é \cos x. Logo,
\int \cos x\,dx = \sin x.

Passo 4

Para a segunda parte, extraímos a constante 2 e usamos a regra de potência \int x^{n}\,dx = x^{n+1}/(n+1):
\int 2x^{3}\,dx = 2 \int x^{3}\,dx = 2 \cdot \frac{x^{4}}{4} = \frac{2}{4}\,x^{4} = \frac{x^{4}}{2}.

Passo 5

Reunindo os resultados e adicionando a constante de integração C, obtemos
\int \bigl(\cos x - 2x^{3}\bigr)\,dx = \sin x \;-\; \frac{x^{4}}{2} \;+\; C.

Resposta

\sin x - \frac{x^{4}}{2} + C.

Exercícios relacionados