Calcule as derivadas de primeira e segunda ordem da ação
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas de primeira e de segunda ordem da função
Informações e o que exatamente é solicitado:
- A função dada é
definida por . - Pedir-se-á calcular todas as derivadas parciais de primeira ordem:
e . - Pedir-se-á calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem:
, e as mistas , . - Não há restrição de domínio além de
.
Passo 2
Ideia principal (ferramentas que vou usar) — explicação didática da regra da cadeia e definição de derivada parcial.
- A função é composição de
com . Ou seja,
- Regra da cadeia para derivadas parciais: se
, então
Aqui
é a derivada de
em relação a
, e
,
são as derivadas parciais de
.
- Para segundas derivadas existe uma fórmula útil (derivando novamente): por exemplo
que é apenas a aplicação da regra da cadeia junto com a regra do produto (ou pode-se derivar passo a passo usando produto e cadeia).
Passo 3
Calcular as derivadas de
e de
(componentes da composição).
- Defino
. Então as derivadas parciais de são:
E as segundas derivadas de
são:
- A função externa é
. Suas derivadas são:
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de primeira ordem usando a regra da cadeia.
- Aplicando a fórmula
, com e :
É mais compacto escrever:
- Analogamente para
:
Comentário rápido: faz sentido que
tenha fator
porque
cresce como
; no ponto
a variação de
na direção
é nula (para qualquer
).
Passo 5
Calcular
usando a fórmula para segundas derivadas (ou derivando
diretamente).
- Uso a fórmula
Substituindo
,
e
:
Simplificando os termos:
Passo 6
Calcular
por simetria (mesma ideia do passo anterior trocando
por
).
- Aplicando a mesma fórmula com
e :
Passo 7
Calcular as derivadas mistas
e
.
- Uma forma direta: derivar
em relação a . Note que é tratado como constante ao derivar em relação a , então:
Como
, temos
- Pelo teorema de Clairaut (condições usuais de continuidade das derivadas mistas são satisfeitas aqui), as mistas são iguais:
Passo 8
Resumo e interpretação leve (pra você levar pra prova).
- Primeiro: use a ideia de composição
e aplique regra da cadeia para as primeiras derivadas: multiplica pelas derivadas de . - Para segundas: ou derive novamente as primeiras (aplicando produto + cadeia) ou use a fórmula compacta que aparece ao diferenciar uma composição duas vezes:
no nosso caso
, o que simplifica as mistas.
- Dica prática: escrever
ajuda muito; memorize e para agilizar os cálculos.