Calcule as derivadas de primeira e segunda ordem da ação
f(x, y)=\cos \left(x^{2}+y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas de primeira e de segunda ordem da função
f(x,y)=\cos\!\big(x^{2}+y^{2}\big).
Informações e o que exatamente é solicitado:
  • A função dada é f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} definida por f(x,y)=\cos\!\big(x^{2}+y^{2}\big).
  • Pedir-se-á calcular todas as derivadas parciais de primeira ordem: \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}.
  • Pedir-se-á calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem: \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}, \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} e as mistas \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}, \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}.
  • Não há restrição de domínio além de x,y\in\mathbb{R}.

Passo 2

Ideia principal (ferramentas que vou usar) — explicação didática da regra da cadeia e definição de derivada parcial.
  • A função é composição de g(t)=\cos t com u(x,y)=x^{2}+y^{2}. Ou seja,
f(x,y)=g\big(u(x,y)\big).
  • Regra da cadeia para derivadas parciais: se f(x,y)=g(u(x,y)), então
\dfrac{\partial f}{\partial x}=g'\big(u(x,y)\big)\cdot \dfrac{\partial u}{\partial x}, \qquad \dfrac{\partial f}{\partial y}=g'\big(u(x,y)\big)\cdot \dfrac{\partial u}{\partial y}.
Aqui g'(t) é a derivada de g em relação a t, e \dfrac{\partial u}{\partial x}, \dfrac{\partial u}{\partial y} são as derivadas parciais de u.
  • Para segundas derivadas existe uma fórmula útil (derivando novamente): por exemplo
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=g''(u)\big(\dfrac{\partial u}{\partial x}\big)^{2}+g'(u)\dfrac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}},
que é apenas a aplicação da regra da cadeia junto com a regra do produto (ou pode-se derivar passo a passo usando produto e cadeia).

Passo 3

Calcular as derivadas de u e de g (componentes da composição).
  • Defino u(x,y)=x^{2}+y^{2}. Então as derivadas parciais de u são:
\dfrac{\partial u}{\partial x}=2x, \qquad \dfrac{\partial u}{\partial y}=2y.
E as segundas derivadas de u são:
\dfrac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=2, \qquad \dfrac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=2, \qquad \dfrac{\partial^{2} u}{\partial x\partial y}=0.
  • A função externa é g(t)=\cos t. Suas derivadas são:
g'(t)=-\sin t, \qquad g''(t)=-\cos t.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de primeira ordem usando a regra da cadeia.
  • Aplicando a fórmula \dfrac{\partial f}{\partial x}=g'(u)\cdot u_x, com g'(u)=-\sin(u) e u_x=2x:
\dfrac{\partial f}{\partial x}=-\sin\big(x^{2}+y^{2}\big)\cdot 2x.
É mais compacto escrever:
\dfrac{\partial f}{\partial x}=-2x\,\sin\big(x^{2}+y^{2}\big).
  • Analogamente para \dfrac{\partial f}{\partial y}:
\dfrac{\partial f}{\partial y}=-2y\,\sin\big(x^{2}+y^{2}\big).
Comentário rápido: faz sentido que \dfrac{\partial f}{\partial x} tenha fator x porque u cresce como x^{2}; no ponto x=0 a variação de f na direção x é nula (para qualquer y).

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} usando a fórmula para segundas derivadas (ou derivando \dfrac{\partial f}{\partial x} diretamente).
  • Uso a fórmula
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=g''(u)\big(u_x\big)^{2}+g'(u)u_{xx}.
Substituindo g''(u)=-\cos(u), u_x=2x e u_{xx}=2:
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=-\cos\big(x^{2}+y^{2}\big)\cdot(2x)^{2}+(-\sin\big(x^{2}+y^{2}\big))\cdot 2.
Simplificando os termos:
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=-4x^{2}\cos\big(x^{2}+y^{2}\big)-2\sin\big(x^{2}+y^{2}\big).

Passo 6

Calcular \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} por simetria (mesma ideia do passo anterior trocando x por y).
  • Aplicando a mesma fórmula com u_y=2y e u_{yy}=2:
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=-4y^{2}\cos\big(x^{2}+y^{2}\big)-2\sin\big(x^{2}+y^{2}\big).

Passo 7

Calcular as derivadas mistas \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y} e \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}.
  • Uma forma direta: derivar \dfrac{\partial f}{\partial x}=-2x\sin(u) em relação a y. Note que x é tratado como constante ao derivar em relação a y, então:
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial y}\big(-2x\sin(u)\big)=-2x\cos(u)\cdot u_{y}.
Como u_{y}=2y, temos
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=-2x\cos\big(x^{2}+y^{2}\big)\cdot 2y=-4xy\cos\big(x^{2}+y^{2}\big).
  • Pelo teorema de Clairaut (condições usuais de continuidade das derivadas mistas são satisfeitas aqui), as mistas são iguais:
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=-4xy\cos\big(x^{2}+y^{2}\big).

Passo 8

Resumo e interpretação leve (pra você levar pra prova).
  • Primeiro: use a ideia de composição f(x,y)=g(u(x,y)) e aplique regra da cadeia para as primeiras derivadas: multiplica g'(u) pelas derivadas de u.
  • Para segundas: ou derive novamente as primeiras (aplicando produto + cadeia) ou use a fórmula compacta que aparece ao diferenciar uma composição duas vezes:
f_{xx}=g''(u)(u_x)^{2}+g'(u)u_{xx}, \quad f_{yy}=g''(u)(u_y)^{2}+g'(u)u_{yy}, \quad f_{xy}=g''(u)u_x u_y + g'(u)u_{xy},
no nosso caso u_{xy}=0, o que simplifica as mistas.
  • Dica prática: escrever u=x^{2}+y^{2} ajuda muito; memorize g'(t)=-\sin t e g''(t)=-\cos t para agilizar os cálculos.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}=-2x\,\sin\big(x^{2}+y^{2}\big)
\dfrac{\partial f}{\partial y}=-2y\,\sin\big(x^{2}+y^{2}\big)
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=-4x^{2}\cos\big(x^{2}+y^{2}\big)-2\sin\big(x^{2}+y^{2}\big)
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=-4y^{2}\cos\big(x^{2}+y^{2}\big)-2\sin\big(x^{2}+y^{2}\big)
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=-4xy\cos\big(x^{2}+y^{2}\big)

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