Utilize a Regra da Cadeia para determinar as rivadas parciais indicadas
w=\sqrt{t^{2}+u^{2}},
t=x e^{y}, \quad u=y e^{x},
\frac{\partial w}{\partial x}, \frac{\partial w}{\partial y} para x=0, y=2.

Passo 1

O enunciado dá as relações
w=\sqrt{t^{2}+u^{2}}, \qquad t=x e^{y}, \qquad u=y e^{x},
e pede os valores de \dfrac{\partial w}{\partial x} e \dfrac{\partial w}{\partial y} avaliados no ponto x=0,\;y=2.

Passo 2

Primeiro vamos encontrar as derivadas parciais de w em relação a t e a u. Escrevendo w como potência:
w=(t^{2}+u^{2})^{1/2}.
A derivada de z^{1/2} em relação a z é \tfrac{1}{2}z^{-1/2}. Aplicando a regra da cadeia (aqui só para variável interna t^{2}+u^{2}) obtemos, para as derivadas parciais:
\frac{\partial w}{\partial t} =\frac{1}{2}(t^{2}+u^{2})^{-1/2}\cdot 2t =\frac{t}{\sqrt{t^{2}+u^{2}}},
\frac{\partial w}{\partial u} =\frac{1}{2}(t^{2}+u^{2})^{-1/2}\cdot 2u =\frac{u}{\sqrt{t^{2}+u^{2}}}.
Explicando rápido: \dfrac{\partial w}{\partial t} diz quanto w varia quando só t varia; a expressão acima vem de diferenciar a raiz quadrada e simplificar os 2.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais de t e u em relação a x e y. Dado
t=x e^{y}, \qquad u=y e^{x},
temos (tratando y como constante quando derivamos em relação a x, e vice-versa):
\frac{\partial t}{\partial x}=e^{y},\qquad \frac{\partial t}{\partial y}=x e^{y},
\frac{\partial u}{\partial x}=y e^{x},\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=e^{x}.
Pequena intuição: x e^{y} visto como função de x é linear em x com coeficiente e^{y}, por isso \partial t/\partial x=e^{y}.

Passo 4

Agora aplicamos a Regra da Cadeia para obter \dfrac{\partial w}{\partial x} e \dfrac{\partial w}{\partial y}. A forma geral é
\frac{\partial w}{\partial x} =\frac{\partial w}{\partial t}\cdot\frac{\partial t}{\partial x} +\frac{\partial w}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x},
\frac{\partial w}{\partial y} =\frac{\partial w}{\partial t}\cdot\frac{\partial t}{\partial y} +\frac{\partial w}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}.
Isto significa somar as contribuições de como w depende de t e u multiplicadas por como t e u dependem de x (ou de y).

Passo 5

Substituindo as expressões de \dfrac{\partial w}{\partial t} e \dfrac{\partial w}{\partial u} do Passo 2, obtemos fórmulas mais simples:
\frac{\partial w}{\partial x} =\frac{t}{\sqrt{t^{2}+u^{2}}}\cdot\frac{\partial t}{\partial x} +\frac{u}{\sqrt{t^{2}+u^{2}}}\cdot\frac{\partial u}{\partial x} =\frac{t\,t_x+u\,u_x}{\sqrt{t^{2}+u^{2}}},
\frac{\partial w}{\partial y} =\frac{t\,t_y+u\,u_y}{\sqrt{t^{2}+u^{2}}},
onde usei as notações t_x=\dfrac{\partial t}{\partial x}, u_x=\dfrac{\partial u}{\partial x}, etc.

Passo 6

Agora avaliamos t e u no ponto pedido x=0,\;y=2:
t(0,2)=0\cdot e^{2}=0, \qquad u(0,2)=2\cdot e^{0}=2\cdot 1=2.
Também calculamos o denominador \sqrt{t^{2}+u^{2}} nesse ponto:
\sqrt{t^{2}+u^{2}}=\sqrt{0^{2}+2^{2}}=\sqrt{4}=2.

Passo 7

Avaliamoas as derivadas parciais t_x,t_y,u_x,u_y no ponto x=0,\;y=2 usando os resultados do Passo 3:
t_x(0,2)=e^{y}\big|_{y=2}=e^{2}, \qquad t_y(0,2)=x e^{y}\big|_{x=0,y=2}=0\cdot e^{2}=0,
u_x(0,2)=y e^{x}\big|_{x=0,y=2}=2\cdot e^{0}=2, \qquad u_y(0,2)=e^{x}\big|_{x=0}=e^{0}=1.

Passo 8

Agora substituímos tudo nas fórmulas do Passo 5 e fazemos as contas passo a passo.
Para \dfrac{\partial w}{\partial x} no ponto:
\frac{\partial w}{\partial x}\Big|_{(0,2)} =\frac{t\,t_x+u\,u_x}{\sqrt{t^{2}+u^{2}}}\Bigg|_{(0,2)} =\frac{0\cdot e^{2}+2\cdot 2}{2} =\frac{4}{2}=2.
Para \dfrac{\partial w}{\partial y} no ponto:
\frac{\partial w}{\partial y}\Big|_{(0,2)} =\frac{t\,t_y+u\,u_y}{\sqrt{t^{2}+u^{2}}}\Bigg|_{(0,2)} =\frac{0\cdot 0+2\cdot 1}{2} =\frac{2}{2}=1.

Passo 9

Pronto — as derivadas parciais pedidas foram calculadas e avaliadas no ponto. Gostou? Mandou bem de vir buscar a solução passo a passo — assim fica mais fácil decorar o procedimento para a prova!

Resposta

\displaystyle \frac{\partial w}{\partial x}(0,2)=2
\displaystyle \frac{\partial w}{\partial y}(0,2)=1

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