onde R é a região do primeiro quadrante entre os círc com centro na origem e raios 1 e 3 .
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e o que foi dado.
Pede-se calcular a integral dupla
\iint_{R} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\\ dA,
onde R é a região do primeiro quadrante entre os círculos centrados na origem com raios 1 e 3.
Informações importantes extraídas do enunciado:
A região R está no primeiro quadrante, logo x\ge0 e y\ge0.
A região fica entre os círculos de raios 1 e 3, isto é 1\le \sqrt{x^{2}+y^{2}}\le 3.
O objetivo é avaliar a integral dupla sobre essa região.
Passo 2
Motivação para usar coordenadas polares e fórmulas de conversão.
Quando a integranda e a região dependem de x^{2}+y^{2} e têm simetria circular, é muito mais simples usar coordenadas polares. Em polares definimos:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo polar.
A função dentro da raiz fica simples em polares:
\sqrt{x^{2}+y^{2}} = \sqrt{r^{2}} = r,
já que r\ge0 na nossa região.
Passo 3
Explicação do elemento de área em polares (o Jacobiano): por que dA = r\,dr\,d\theta.
Um pequeno pedaço de área em coordenadas cartesianas é dA = dx\,dy. Em polares, um retângulo pequeno em (r,\theta) tem lados aproximados de comprimento dr e r\,d\theta (o arco tangente de raio r e ângulo d\theta tem comprimento r\,d\theta).
Assim a área desse elemento é aproximadamente dr\cdot (r\,d\theta)=r\,dr\,d\theta. Isso é o fator de escala (Jacobian) da transformação. Portanto, ao mudar para polares devemos substituir dA por r\,dr\,d\theta.
Passo 4
Descrever a região R em coordenadas polares e estabelecer os limites de integração.
Como R está entre os círculos de raios 1 e 3, em polares isso é exatamente 1\le r\le 3.
Como R está no primeiro quadrante, o ângulo varia de 0 até \pi/2, isto é 0\le \theta\le \pi/2.
Portanto os limites são
0\le \theta\le \frac{\pi}{2},\qquad 1\le r\le 3.
Passo 5
Montar a integral em coordenadas polares substituindo integranda e dA.
Substituindo \sqrt{x^{2}+y^{2}}=r e dA=r\,dr\,d\theta, a integranda fica r\cdot r = r^{2}. Assim a integral passa a ser
\iint_{R} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\\ dA = \int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=1}^{3} r^{2}\,dr\,d\theta.
Passo 6
Calcular a integral interna em r.
A primitiva de r^{2} em relação a r é \dfrac{r^{3}}{3}. Então