Calcule a integral de
na regiaśa limitada por
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral da função
na região limitada pelas curvas
O que é pedido: o valor da integral dupla
onde
é a região do plano limitada pelas três curvas dadas. Informações relevantes fornecidas:
- A função a integrar é
. - As fronteiras da região são
(eixo ), (reta vertical) e (parábola). - Não há outras informações (por exemplo, orientação) pedidos — apenas o valor da integral sobre a região fechada.
Passo 2
Entender geometricamente a região
. Vou identificar os pontos de interseção das curvas (todos os símbolos numéricos vão aparecer em notação matemática):
- Interseção de
com ocorre quando , ou seja em . Logo um ponto de interseção é . - Interseção de
com é . - Interseção de
com é porque .
Pela figura mental: para
entre
e
a parábola
está acima de
. Portanto a região
é o conjunto de pontos com
variando de
a
e, para cada
fixo,
variando de
até
. Em fórmula:
Passo 3
Escolher a ordem de integração e escrever o integral iterado. Como a descrição de
ficou naturalmente em termos de
primeiro e depois
(ou seja, limites de
em função de
), escolhemos integrar primeiro em
e depois em
. Assim o integral fica:
Breve explicação do porquê: para cada
entre
e
tomamos a “fatia vertical” cuja
vai de
até
, somamos
ao longo dessa fatia (integral em
) e depois somamos essas contribuições para todos os
(integral em
).
Passo 4
Calcular a integral interna em
. Precisamos calcular
Truque: ao integrar em
, trate
como constante. Integral termo a termo:
-
porque é constante em relação a . -
.
Logo a primitiva em
é
. Avaliando entre
e
obtemos:
Simplificando:
portanto o resultado da integral interna é
Passo 5
Agora calcular a integral externa em
:
Integramos termo a termo:
-
. -
.
Portanto a primitiva é
. Avaliando entre
e
:
Passo 6
Simplificar o valor numérico final:
Em decimal isto é
, mas a forma fracionária
é mais exata.