Calcule a integral de
f(x, y)=3 x+4 y
na regiaśa limitada por
y=0, x=1, y=x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral da função
f(x,y)=3x+4y
na região limitada pelas curvas
y=0,\qquad x=1,\qquad y=x^{2}.
O que é pedido: o valor da integral dupla
\iint_{D}(3x+4y)\,dA,
onde D é a região do plano limitada pelas três curvas dadas. Informações relevantes fornecidas:
  • A função a integrar é f(x,y)=3x+4y.
  • As fronteiras da região são y=0 (eixo x), x=1 (reta vertical) e y=x^{2} (parábola).
  • Não há outras informações (por exemplo, orientação) pedidos — apenas o valor da integral sobre a região fechada.

Passo 2

Entender geometricamente a região D. Vou identificar os pontos de interseção das curvas (todos os símbolos numéricos vão aparecer em notação matemática):
  • Interseção de y=0 com y=x^{2} ocorre quando x^{2}=0, ou seja em x=0. Logo um ponto de interseção é (0,0).
  • Interseção de x=1 com y=0 é (1,0).
  • Interseção de x=1 com y=x^{2} é (1,1) porque y=1^{2}=1.
Pela figura mental: para x entre 0 e 1 a parábola y=x^{2} está acima de y=0. Portanto a região D é o conjunto de pontos com x variando de 0 a 1 e, para cada x fixo, y variando de 0 até x^{2}. Em fórmula:
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le x^{2}\}.

Passo 3

Escolher a ordem de integração e escrever o integral iterado. Como a descrição de D ficou naturalmente em termos de x primeiro e depois y (ou seja, limites de y em função de x), escolhemos integrar primeiro em y e depois em x. Assim o integral fica:
\iint_{D}(3x+4y)\,dA=\int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=0}^{x^{2}}(3x+4y)\,dy\right)dx.
Breve explicação do porquê: para cada x entre 0 e 1 tomamos a “fatia vertical” cuja y vai de 0 até x^{2}, somamos f(x,y) ao longo dessa fatia (integral em y) e depois somamos essas contribuições para todos os x (integral em x).

Passo 4

Calcular a integral interna em y. Precisamos calcular
\int_{y=0}^{x^{2}}(3x+4y)\,dy.
Truque: ao integrar em y, trate x como constante. Integral termo a termo:
  • \int 3x\,dy = 3x\cdot y porque 3x é constante em relação a y.
  • \int 4y\,dy = 4\cdot \dfrac{y^{2}}{2}=2y^{2}.
Logo a primitiva em y é 3x y+2y^{2}. Avaliando entre y=0 e y=x^{2} obtemos:
\left[3x y+2y^{2}\right]_{y=0}^{y=x^{2}} = 3x\cdot x^{2}+2\cdot(x^{2})^{2} - \bigl(0\bigr).
Simplificando:
3x\cdot x^{2}=3x^{3},\qquad 2\cdot(x^{2})^{2}=2x^{4},
portanto o resultado da integral interna é
3x^{3}+2x^{4}.

Passo 5

Agora calcular a integral externa em x:
\int_{x=0}^{1}\bigl(3x^{3}+2x^{4}\bigr)\,dx.
Integramos termo a termo:
  • \int 3x^{3}\,dx = 3\cdot \dfrac{x^{4}}{4}=\dfrac{3}{4}x^{4}.
  • \int 2x^{4}\,dx = 2\cdot \dfrac{x^{5}}{5}=\dfrac{2}{5}x^{5}.
Portanto a primitiva é \dfrac{3}{4}x^{4}+\dfrac{2}{5}x^{5}. Avaliando entre x=0 e x=1:
\left[\dfrac{3}{4}x^{4}+\dfrac{2}{5}x^{5}\right]_{0}^{1}=\dfrac{3}{4}\cdot1^{4}+\dfrac{2}{5}\cdot1^{5}-0.

Passo 6

Simplificar o valor numérico final:
\dfrac{3}{4}+\dfrac{2}{5}=\dfrac{3\cdot5}{4\cdot5}+\dfrac{2\cdot4}{5\cdot4}=\dfrac{15}{20}+\dfrac{8}{20}=\dfrac{23}{20}.
Em decimal isto é \,1{,}15, mas a forma fracionária \dfrac{23}{20} é mais exata.

Resposta

\dfrac{23}{20}

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