Calcule as derivadas de primeira e segunda ordem das funções abaixo:
m(x)=(x^5+9 x+8)(x^2-10 x)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas de primeira e segunda ordem de
m(x) = l(x^5 + 9x + 8r)l(x^2 - 10xr)
Aqui vamos usar a regra do produto e a regra da potência.

Passo 2

Seja
A(x) = x^5 + 9x + 8, B(x) = x^2 - 10x
Pela regra do produto,
m'(x) = A'(x),B(x) + A(x),B'(x)
Calculamos
A'(x) = 5x^4 + 9, B'(x) = 2x - 10

Passo 3

Substituindo e expandindo:
A'(x),B(x) = (5x^4+9)(x^2-10x) = 5x^6 - 50x^5 + 9x^2 - 90x,
A(x),B'(x) = (x^5+9x+8)(2x-10) = 2x^6 -10x^5 +18x^2 -74x -80
Somando esses termos, obtemos
m'(x) = 7x^6 -60x^5 + 27x^2 -164x -80

Passo 4

Para a segunda derivada, aplicamos a regra da potência a cada termo de m'(x):
m''(x) = ddxl(7x^6r) - ddxl(60x^5r) + ddxl(27x^2r) - ddxl(164xr) - ddx(80)

Passo 5

Derivando termo a termo:
ddx(7x^6) = 42x^5, ddx(60x^5) = 300x^4, ddx(27x^2) = 54x, ddx(164x) = 164, ddx(80) = 0
Logo,
m''(x) = 42x^5 - 300x^4 + 54x - 164

Resposta

m'(x) = 7x^6 -60x^5 + 27x^2 -164x -80
m''(x) = 42x^5 -300x^4 + 54x -164

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