Use a Regra da Cadeia para calcular d zd t ou d wd t no ponto indicado
(c) w=ln (x^2+y^2+z^2), x=cos t, y=sin t, z=4 raizt ; t=3

Passo 1

O enunciado dá a função de várias variáveis
w = lnl(x^2 + y^2 + z^2r)
com as parametrizações
x = cos t, y = sin t, z = 4raizt
e pede dwdt em t=3. Vamos aplicar a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Pela regra da cadeia para funções de várias variáveis,
dwdt = partial wpartial x,dxdt + partial wpartial y,dydt + partial wpartial z,dzdt
Como w = lnl(ur) com u = x^2+y^2+z^2, temos
partial wpartial x = 1ucdot 2x = 2xx^2 + y^2 + z^2,
e análogamente
partial wpartial y = 2yx^2 + y^2 + z^2, partial wpartial z = 2zx^2 + y^2 + z^2

Passo 3

Calculamos as derivadas das parametrizações:
dxdt = -sin t, dydt = cos t, dzdt = 4cdotddtl(t^1/2r) = 4cdot12raizt = 2raizt

Passo 4

Agora avaliamos tudo em t=3:
x(3)=cos3,;y(3)=sin3,;z(3)=4raiz3, dxdt|3 = -sin3,; dydt|3 = cos3,; dzdt|3 = 2raiz3
Substituindo em dwdt:
dwdt = 1x^2+y^2+z^2 l[ 2xl(-sin tr) +2yl(cos tr) +2zl(tfrac2raiztr) r]t=3
Note que
2cos3(-sin3)+2sin3(cos3)=0,
e
2zcdot2raizt|t=3 =2cdot(4raiz3)cdot2raiz3 =16
O denominador é
cos^2 3 + sin^2 3 + (4raiz3)^2 =1 + 48 =49
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dwdt|t=3 = 1649

Resposta

dwdt|t=3=1649

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