Construir os gráficos das funções abaixo. Determinar a interseção com os eixos coordenados. Indique o domínio e a imagem das funções.
(16) y=x-2x-4.

Passo 1

Temos a função racional y=x-2x-4. Para resolver o exercício precisamos: identificar o domínio (onde a função está definida), encontrar as interseções com os eixos coordenados, determinar as assíntotas e, a partir daí, inferir a imagem e esboçar o gráfico.

Passo 2

O domínio vem da condição de que o denominador não pode ser zero. Fazendo x-4neq0, obtemos xneq4. Logo o domínio é Rsetminus4.

Passo 3

Para as interseções com os eixos: com o eixo x fazemos y=0, logo x-2x-4=0 implica x=2, ponto (2,0). Com o eixo y fazemos x=0, então y=-2-4=tfrac12, ponto (0,tfrac12).

Passo 4

As assíntotas: vertical surge onde o denominador zera, isto é x=4. Como o grau do numerador e do denominador são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes líderes, ou seja y=1. Confirma-se também que não existe solução para tfracx-2x-4=1, reforçando que y=1 não é atingido.

Passo 5

Para a imagem basta observar que y=1 nunca ocorre (já que levaria a contradição x-2=x-4). Assim a imagem é Rsetminus1.

Passo 6

Para esboçar o gráfico escrevemos y=1+2x-4que é uma hipérbole com centro em (4,1), assíntotas x=4 e y=1, passando pelos pontos (2,0) e (0,tfrac12).

Resposta

Domínio: Rsetminus4; Imagem: Rsetminus1; Interceptos: com o eixo x em (2,0) e com o eixo y em (0,tfrac12); Assíntotas: vertical x=4 e horizontal y=1.

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