Dado que y = sen(x) é uma solução explícita da equação dy/dx = raiz(1 - y^2), qual dos itens apresenta o maior intervalo de definição possível para esta solução? justifique sua escolha.
(d) (-pi / 2, pi / 2)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função explícita que satisfaz a equação diferencial . Nosso objetivo é descobrir qual intervalo de definição para torna essa solução válida em todo o intervalo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de . Sabemos que:
Agora, substituímos na equação diferencial dada:
Sabemos que , então:
Isso significa que deve ser não negativo:

Passo 3

Vamos identificar onde é maior ou igual a zero. A função cosseno é positiva no intervalo:
Fora desse intervalo, o cosseno se torna negativo, o que não satisfaz a equação diferencial.

Resposta

O maior intervalo de definição possível para a solução é .

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