No exercícios de (15) a (23), calcule os limites das sequências
:
22)
.
22)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite da sequência
. Aqui estamos lidando com logaritmos naturais, e nosso objetivo é encontrar o limite quando
fica muito grande, ou seja, quando
tende ao infinito. Para isso, vamos usar propriedades de logaritmos e técnicas de limite.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão usando uma propriedade dos logaritmos que diz que a diferença de logaritmos é igual ao logaritmo da divisão dos argumentos. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos analisar o que acontece com a fração
quando
tende ao infinito. Vamos dividir o numerador e o denominador por
:
Passo 4
Quando
tende ao infinito, o termo
tende a zero. Portanto, a expressão se simplifica para:
Passo 5
Agora, voltando ao logaritmo, temos que:
Passo 6
No entanto, precisamos ser mais precisos. Vamos expandir
usando a aproximação
para
pequeno:
Passo 7
Agora, ao aplicar o limite, temos:
Resposta
O limite da sequência
quando
tende ao infinito é 0.