Calcule as derivadas rac{d y}{d x} das equações a seguir:
f(x)=\sqrt{x} \cdot \operatorname{sen}(x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada \dfrac{dy}{dx} (ou f'(x)) da função dada. A função fornecida é
f(x)=\sqrt{x}\cdot \operatorname{sen}(x).
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A função é o produto de duas funções: uma envolvendo raiz quadrada e outra a função seno.
  • Para existir a parte \sqrt{x} no sentido usual real, consideramos x\ge 0. Para a derivada clássica (não só lateral) vamos trabalhar em x>0.

Passo 2

Estratégia de resolução (regra que vamos usar):
Quando uma função é produto de duas funções, f(x)=u(x)\,v(x), usamos a regra do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)v(x)\bigr)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Aqui vou identificar as duas funções que formam o produto:
u(x)=\sqrt{x}=x^{1/2},\qquad v(x)=\operatorname{sen}(x).
Na sequência vou calcular u'(x) e v'(x) separadamente e depois aplicar a regra do produto.

Passo 3

Derivada de u(x)=x^{1/2} (regra da potência):
A regra da potência diz que, para qualquer real n,
\frac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1}.
Aplicando com n=\tfrac{1}{2}:
u'(x)=\frac{d}{dx}x^{1/2}=\frac{1}{2}x^{-1/2}.
Escrevendo de forma mais familiar usando raiz:
u'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\qquad\text{(válido para \(x>0\)).}á

Passo 4

Derivada de v(x)=\operatorname{sen}(x):
A derivada da função seno é a função cosseno. Ou seja,
v'(x)=\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(x)=\operatorname{cos}(x).
(Esse é um fato básico de cálculo: a taxa de variação instantânea do seno é o cosseno.)

Passo 5

Aplicando a regra do produto:
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Substituindo u,u',v,v' encontrados:
f'(x)=\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)\operatorname{sen}(x)+\sqrt{x}\,\operatorname{cos}(x).
Isso já é uma forma correta da derivada. Vou simplificar um pouco para deixá-la mais compacta.

Passo 6

Simplificação algébrica (colocando em um único quociente):
Primeiro termo já é \dfrac{\operatorname{sen}(x)}{2\sqrt{x}}. Para somar com \sqrt{x}\operatorname{cos}(x) coloque tudo sobre o mesmo denominador 2\sqrt{x}:
\sqrt{x}\operatorname{cos}(x)=\frac{2x\operatorname{cos}(x)}{2\sqrt{x}}.
Somando os dois termos:
f'(x)=\frac{\operatorname{sen}(x)}{2\sqrt{x}}+\frac{2x\operatorname{cos}(x)}{2\sqrt{x}} =\frac{\operatorname{sen}(x)+2x\operatorname{cos}(x)}{2\sqrt{x}}.

Resposta

f'(x)=\frac{\operatorname{sen}(x)}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}\,\operatorname{cos}(x)
\text{ou, de forma combinada,}\qquad f'(x)=\frac{\operatorname{sen}(x)+2x\operatorname{cos}(x)}{2\sqrt{x}}.

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