Calcule as derivadas
das equações a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada
(ou
) da função dada. A função fornecida é
Informações importantes extraídas do enunciado:
- A função é o produto de duas funções: uma envolvendo raiz quadrada e outra a função seno.
- Para existir a parte
no sentido usual real, consideramos . Para a derivada clássica (não só lateral) vamos trabalhar em .
Passo 2
Estratégia de resolução (regra que vamos usar):
Quando uma função é produto de duas funções, , usamos a regra do produto:
Quando uma função é produto de duas funções,
Aqui vou identificar as duas funções que formam o produto:
Na sequência vou calcular
e
separadamente e depois aplicar a regra do produto.
Passo 3
Derivada de
(regra da potência):
A regra da potência diz que, para qualquer real ,
A regra da potência diz que, para qualquer real
Aplicando com
:
Escrevendo de forma mais familiar usando raiz:
Passo 4
Derivada de
:
A derivada da função seno é a função cosseno. Ou seja,
A derivada da função seno é a função cosseno. Ou seja,
(Esse é um fato básico de cálculo: a taxa de variação instantânea do seno é o cosseno.)
Passo 5
Aplicando a regra do produto:
Substituindo
encontrados:
Isso já é uma forma correta da derivada. Vou simplificar um pouco para deixá-la mais compacta.
Passo 6
Simplificação algébrica (colocando em um único quociente):
Primeiro termo já é . Para somar com
coloque tudo sobre o mesmo denominador
:
Primeiro termo já é
Somando os dois termos: