Calcule as derivadas
das equações a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada
da função dada. A função fornecida é:
O que é pedido: encontrar
(ou
). Informação relevante: a expressão contém um fator racional
multiplicando um polinômio
. Note que a função original não está definida em
por causa do denominador
.
Passo 2
Procure simplificar a expressão antes de derivar (isso normalmente facilita muito). Vamos fatorar
. Fator comum é
:
Agora reescrevemos
substituindo esse fator:
Passo 3
Observe que na expressão acima temos o fator
no numerador e no denominador; eles se cancelam desde que
. Portanto, para
,
Isso já é bem mais simples. Também podemos expandir:
Importante: a igualdade
vale para todo
exceto
, porque a função original não estava definida em
. Não devemos atribuir valor ou derivada no ponto onde a expressão original não existe.
Passo 4
Agora vamos usar regras básicas de derivação. As regras que vamos usar:
- Regra da soma:
. - Regra do fator constante:
, onde é constante. - Regra do poder (power rule):
, para real (a forma mais básica que aparece aqui é inteiro positivo).
Cada símbolo: em
estamos tomando a taxa de variação em relação a
;
são funções de
;
é constante;
é o expoente.
Passo 5
Aplicando essas regras à forma expandida
:
Derivada do primeiro termo:
Derivada do segundo termo:
Somando os dois resultados (regra da soma):
Passo 6
Comentário sobre domínio e por que escolhemos simplificar: escolhi simplificar antes de derivar porque a álgebra cancela o fator problemático
e transforma a função num polinômio simples, que é direto de derivar usando potência e constantes — isso é geralmente mais rápido e menos sujeito a erros do que aplicar produto ou quociente diretamente. Porém, lembrando: a função original não está definida em
, então a derivada que encontramos vale para
. Se alguém tivesse aplicado a simplificação e esquecesse do domínio original, poderia pensar erroneamente que a derivada existe em
; não existe porque a função original não existe lá.