Calcule as derivadas rac{d y}{d x} das equações a seguir:
f(x)=\frac{x+1}{x+2}\left(3 x^{2}+6 x\right)\

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada \dfrac{d y}{d x} da função dada. A função fornecida é:
f(x)=\frac{x+1}{x+2}\left(3 x^{2}+6 x\right).
O que é pedido: encontrar \dfrac{d f}{d x} (ou \dfrac{d y}{d x}). Informação relevante: a expressão contém um fator racional \dfrac{x+1}{x+2} multiplicando um polinômio 3x^{2}+6x. Note que a função original não está definida em x=-2 por causa do denominador x+2.

Passo 2

Procure simplificar a expressão antes de derivar (isso normalmente facilita muito). Vamos fatorar 3x^{2}+6x. Fator comum é 3x:
3x^{2}+6x = 3x(x+2).
Agora reescrevemos f(x) substituindo esse fator:
f(x)=\frac{x+1}{x+2}\cdot 3x(x+2).

Passo 3

Observe que na expressão acima temos o fator (x+2) no numerador e no denominador; eles se cancelam desde que x\neq -2. Portanto, para x\neq -2,
f(x)=3x(x+1).
Isso já é bem mais simples. Também podemos expandir:
f(x)=3x^2+3x.
Importante: a igualdade f(x)=3x(x+1) vale para todo x exceto x=-2, porque a função original não estava definida em x=-2. Não devemos atribuir valor ou derivada no ponto onde a expressão original não existe.

Passo 4

Agora vamos usar regras básicas de derivação. As regras que vamos usar:
  • Regra da soma: \dfrac{d}{dx}\big(u(x)+v(x)\big)=\dfrac{du}{dx}+\dfrac{dv}{dx}.
  • Regra do fator constante: \dfrac{d}{dx}\big(c\cdot u(x)\big)=c\cdot \dfrac{du}{dx}, onde c é constante.
  • Regra do poder (power rule): \dfrac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n x^{n-1}, para n real (a forma mais básica que aparece aqui é n inteiro positivo).
Cada símbolo: em \dfrac{d}{dx} estamos tomando a taxa de variação em relação a x; u(x),v(x) são funções de x; c é constante; n é o expoente.

Passo 5

Aplicando essas regras à forma expandida f(x)=3x^{2}+3x:
Derivada do primeiro termo:
\frac{d}{dx}\big(3x^{2}\big)=3\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)=3\cdot(2x)=6x.
Derivada do segundo termo:
\frac{d}{dx}\big(3x\big)=3\cdot\frac{d}{dx}\big(x\big)=3\cdot 1=3.
Somando os dois resultados (regra da soma):
\frac{d f}{d x}=6x+3.

Passo 6

Comentário sobre domínio e por que escolhemos simplificar: escolhi simplificar antes de derivar porque a álgebra cancela o fator problemático (x+2) e transforma a função num polinômio simples, que é direto de derivar usando potência e constantes — isso é geralmente mais rápido e menos sujeito a erros do que aplicar produto ou quociente diretamente. Porém, lembrando: a função original não está definida em x=-2, então a derivada que encontramos vale para x\neq -2. Se alguém tivesse aplicado a simplificação e esquecesse do domínio original, poderia pensar erroneamente que a derivada existe em x=-2; não existe porque a função original não existe lá.

Resposta

\dfrac{d y}{d x}=6x+3,\quad x\neq -2

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