Calcule as derivadas rac{d y}{d x} das equações a seguir:
f(x)=\left(\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}\right)^{3}\

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • É dada a função \;f(x)=\left(\dfrac{x^{2}+1}{x^{2}-1}\right)^{3}.
  • O que se pede: calcular \dfrac{dy}{dx}, onde \;y=f(x).
  • Informação importante sobre domínio (tirada da própria expressão): os pontos x em que o denominador se anula não pertencem ao domínio. Portanto x\neq \pm 1.

Passo 2

Que método usar e por quê:
  • A função é uma potência de uma razão: \;y=\big(u(x)\big)^{3} com \;u(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x^{2}-1}.
  • Para derivar uma potência composta usa-se a regra da cadeia: derivada de (u(x))^{3} é 3(u(x))^{2}\cdot u'(x).
  • Para obter u'(x) (derivada da razão) usa-se a regra do quociente (quotient rule).
  • Decisão: aplicar regra da cadeia + regra do quociente. É direto e rápido para este tipo de função.

Passo 3

Regra da cadeia — explicação didática:
  • Regra da cadeia: se \;y=(u(x))^{n}, então
\dfrac{dy}{dx}=n\,(u(x))^{n-1}\cdot \dfrac{du}{dx}.
  • Aqui n=3 e u(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x^{2}-1}. Isso significa que primeiro derivamos a potência (trata-se 3u^{2}) e multiplicamos pela derivada de u.
  • Exemplo simples (para fixar): se y=(x+1)^{3}, então u(x)=x+1, u'(x)=1 e
\dfrac{dy}{dx}=3(x+1)^{2}\cdot 1 = 3(x+1)^{2}.

Passo 4

Regra do quociente — explicação didática e aplicação:
  • Regra do quociente: se u(x)=\dfrac{v(x)}{w(x)} com v e w diferenciáveis, então
\dfrac{du}{dx}=\dfrac{v'(x)\,w(x)-v(x)\,w'(x)}{\big(w(x)\big)^{2}}.
  • No nosso caso tome
v(x)=x^{2}+1,\qquad w(x)=x^{2}-1.
  • Derivadas de v e w:
v'(x)=2x,\qquad w'(x)=2x.

Passo 5

Calcular \dfrac{du}{dx} passo a passo:
  • Aplicando a regra do quociente:
\dfrac{du}{dx}=\dfrac{(2x)(x^{2}-1)-(x^{2}+1)(2x)}{(x^{2}-1)^{2}}.
  • Desenvolvendo o numerador cuidadosamente:
(2x)(x^{2}-1)-(x^{2}+1)(2x)=2x(x^{2}-1)-2x(x^{2}+1).
  • Colocando 2x em evidência:
2x\big( (x^{2}-1)-(x^{2}+1)\big)=2x\big(x^{2}-1-x^{2}-1\big)=2x(-2)=-4x.
  • Logo
\dfrac{du}{dx}=\dfrac{-4x}{(x^{2}-1)^{2}}.

Passo 6

Voltar à regra da cadeia e combinar tudo:
  • A regra da cadeia deu \dfrac{dy}{dx}=3\big(u(x)\big)^{2}\cdot u'(x).
  • Substituindo u(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x^{2}-1} e u'(x)=\dfrac{-4x}{(x^{2}-1)^{2}}:
\dfrac{dy}{dx}=3\left(\dfrac{x^{2}+1}{x^{2}-1}\right)^{2}\cdot \dfrac{-4x}{(x^{2}-1)^{2}}.

Passo 7

Simplificar a expressão final:
  • Multiplicando constantes e combinando potências do denominador:
3\cdot(-4x)=-12x,
e
\left(\dfrac{1}{x^{2}-1}\right)^{2}\cdot \dfrac{1}{(x^{2}-1)^{2}}=\dfrac{1}{(x^{2}-1)^{4}}.
  • Também \big(x^{2}+1\big)^{2} fica no numerador. Portanto a forma simplificada é
\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{12x\big(x^{2}+1\big)^{2}}{\big(x^{2}-1\big)^{4}}.

Passo 8

Observações finais e lembrete:
  • A expressão encontrada vale para todos x do domínio da função original, ou seja, para x\neq \pm 1.
  • Interpretando: o sinal negativo aparece porque o numerador da derivada de u ficou -4x; se x>0 isso muda o sinal da derivada, etc. (só para intuição).
  • Relembre as regras usadas: cadeia (para potências compostas) e quociente (para razão). Pratique com exemplos parecidos para fixar.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{12x\big(x^{2}+1\big)^{2}}{\big(x^{2}-1\big)^{4}}

Exercícios relacionados