Calcule as derivadas
das equações a seguir:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- É dada a função
. - O que se pede: calcular
, onde . - Informação importante sobre domínio (tirada da própria expressão): os pontos
em que o denominador se anula não pertencem ao domínio. Portanto .
Passo 2
Que método usar e por quê:
- A função é uma potência de uma razão:
com . - Para derivar uma potência composta usa-se a regra da cadeia: derivada de
é . - Para obter
(derivada da razão) usa-se a regra do quociente (quotient rule). - Decisão: aplicar regra da cadeia + regra do quociente. É direto e rápido para este tipo de função.
Passo 3
Regra da cadeia — explicação didática:
- Regra da cadeia: se
, então
- Aqui
e . Isso significa que primeiro derivamos a potência (trata-se ) e multiplicamos pela derivada de . - Exemplo simples (para fixar): se
, então , e
Passo 4
Regra do quociente — explicação didática e aplicação:
- Regra do quociente: se
com e diferenciáveis, então
- No nosso caso tome
- Derivadas de
e :
Passo 5
Calcular
passo a passo:
- Aplicando a regra do quociente:
- Desenvolvendo o numerador cuidadosamente:
- Colocando
em evidência:
- Logo
Passo 6
Voltar à regra da cadeia e combinar tudo:
- A regra da cadeia deu
. - Substituindo
e :
Passo 7
Simplificar a expressão final:
- Multiplicando constantes e combinando potências do denominador:
e
- Também
fica no numerador. Portanto a forma simplificada é
Passo 8
Observações finais e lembrete:
- A expressão encontrada vale para todos
do domínio da função original, ou seja, para . - Interpretando: o sinal negativo aparece porque o numerador da derivada de
ficou ; se isso muda o sinal da derivada, etc. (só para intuição). - Relembre as regras usadas: cadeia (para potências compostas) e quociente (para razão). Pratique com exemplos parecidos para fixar.