Calcule as derivadas
das equações a seguir:
Passo 1
O enunciado dá a equação implícita
e pede para calcular
.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A equação relaciona
e de forma implícita (não está isolado). - Precisamos a derivada de
em relação a , ou seja, a razão , expressa em termos de e .
Passo 2
Método escolhido: diferenciação implícita. Explicação curta e honesta: como
aparece combinada com
na equação e não está isolada, a maneira direta é derivar ambos os lados da igualdade em relação a
aplicando as regras habituais (regra da potência, regra do produto e regra da cadeia). Depois isolamos
. Isso é o que tipicamente se pede em provas para equações do tipo
.
Passo 3
Relembrando as regras que vamos usar (com explicação e exemplo pequeno):
- Regra da potência:
. Ex.: . - Regra da cadeia (quando derivamos algo em
em relação a ): se temos então . Ex.: . - Regra do produto:
. Ex.: .
Passo 4
Agora derivamos ambos os lados da equação
em relação a
, termo a termo, aplicando as regras acima.
Derivada do termo
:
Derivada do termo
(usar regra da cadeia, já que
depende de
):
Derivada do lado direito
(constante
vezes produto
, usar regra do produto):
Passo 5
Juntando as derivadas obtidas em ambos os lados, obtemos a igualdade
Passo 6
Agora isolamos os termos que contêm
em um lado e os termos sem
no outro. Subtraindo
e
de ambos os lados:
Passo 7
Fatorando
no lado esquerdo:
Passo 8
Isolando
(dividindo pelos fatores):
Passo 9
Simplificação final: fatorando
numerador e denominador e cancelando:
Passo 10
Comentário de aferição amigável: essa é a expressão para a derivada em termos de
e
. Se quiser o valor numérico da inclinação em um ponto específico
que satisfaça a equação original, basta substituir
e
na expressão
. Boa — já dá pra usar na prova!