Calcule as derivadas rac{d y}{d x} das equações a seguir:
x^{4}+y^{4}=8 x y

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita x^{4}+y^{4}=8xy
e pede para calcular \dfrac{dy}{dx}.
Informações relevantes que temos:
  • A equação relaciona x e y de forma implícita (não está y isolado).
  • Precisamos a derivada de y em relação a x, ou seja, a razão \dfrac{dy}{dx}, expressa em termos de x e y.

Passo 2

Método escolhido: diferenciação implícita. Explicação curta e honesta: como y aparece combinada com x na equação e não está isolada, a maneira direta é derivar ambos os lados da igualdade em relação a x aplicando as regras habituais (regra da potência, regra do produto e regra da cadeia). Depois isolamos \dfrac{dy}{dx}. Isso é o que tipicamente se pede em provas para equações do tipo F(x,y)=0.

Passo 3

Relembrando as regras que vamos usar (com explicação e exemplo pequeno):
  • Regra da potência: \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1}. Ex.: \dfrac{d}{dx}(x^{4})=4x^{3}.
  • Regra da cadeia (quando derivamos algo em y em relação a x): se temos \dfrac{d}{dx}\bigl(y(x)^{n}\bigr) então \dfrac{d}{dx}\bigl(y^{n}\bigr)=n y^{\,n-1}\dfrac{dy}{dx}. Ex.: \dfrac{d}{dx}(y^{4})=4y^{3}\dfrac{dy}{dx}.
  • Regra do produto: \dfrac{d}{dx}\bigl(u(x)v(x)\bigr)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x). Ex.: \dfrac{d}{dx}(xy)=1\cdot y + x\cdot\dfrac{dy}{dx}=y+x\dfrac{dy}{dx}.

Passo 4

Agora derivamos ambos os lados da equação \;x^{4}+y^{4}=8xy\; em relação a x, termo a termo, aplicando as regras acima.
Derivada do termo x^{4}:
\dfrac{d}{dx}\bigl(x^{4}\bigr)=4x^{3}.
Derivada do termo y^{4} (usar regra da cadeia, já que y depende de x):
\dfrac{d}{dx}\bigl(y^{4}\bigr)=4y^{3}\dfrac{dy}{dx}.
Derivada do lado direito 8xy (constante 8 vezes produto x\cdot y, usar regra do produto):
\dfrac{d}{dx}\bigl(8xy\bigr)=8\cdot\dfrac{d}{dx}(xy)=8\bigl(y + x\dfrac{dy}{dx}\bigr)=8y+8x\dfrac{dy}{dx}.

Passo 5

Juntando as derivadas obtidas em ambos os lados, obtemos a igualdade
4x^{3}+4y^{3}\dfrac{dy}{dx}=8y+8x\dfrac{dy}{dx}.

Passo 6

Agora isolamos os termos que contêm \dfrac{dy}{dx} em um lado e os termos sem \dfrac{dy}{dx} no outro. Subtraindo 8x\dfrac{dy}{dx} e 4x^{3} de ambos os lados:
4y^{3}\dfrac{dy}{dx}-8x\dfrac{dy}{dx}=8y-4x^{3}.

Passo 7

Fatorando \dfrac{dy}{dx} no lado esquerdo:
\bigl(4y^{3}-8x\bigr)\dfrac{dy}{dx}=8y-4x^{3}.

Passo 8

Isolando \dfrac{dy}{dx} (dividindo pelos fatores):
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{8y-4x^{3}}{4y^{3}-8x}.

Passo 9

Simplificação final: fatorando 4 numerador e denominador e cancelando:
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{4(2y-x^{3})}{4(y^{3}-2x)}=\dfrac{2y-x^{3}}{y^{3}-2x}.

Passo 10

Comentário de aferição amigável: essa é a expressão para a derivada em termos de x e y. Se quiser o valor numérico da inclinação em um ponto específico (x_{0},y_{0}) que satisfaça a equação original, basta substituir x=x_{0} e y=y_{0} na expressão \dfrac{2y-x^{3}}{y^{3}-2x}. Boa — já dá pra usar na prova!

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2y-x^{3}}{y^{3}-2x}

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