Calcule as derivadas rac{d y}{d x} das equações a seguir:
\quad \operatorname{sen}(x y)=x+y\

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
\sin(xy)=x+y
e pede para calcular a derivada \dfrac{dy}{dx}.
Informações relevantes: a variável independente é x e y é função de x (ou seja, y=y(x)). Não há valores numéricos fornecidos — a resposta será uma expressão em termos de x e y.

Passo 2

Vamos derivar ambos os lados da igualdade em relação a x. Antes de derivar, lembraremos duas regras importantes:
  • Regra da cadeia: se u=u(x), então \dfrac{d}{dx}\sin(u)=\cos(u)\cdot\dfrac{du}{dx}. Aqui u(x)=x y(x).
  • Derivada do lado direito: \dfrac{d}{dx}(x+y)=\dfrac{d}{dx}x+\dfrac{d}{dx}y=1+\dfrac{dy}{dx}.
Aplicando a derivação ao lado esquerdo usando a regra da cadeia obtemos:
\frac{d}{dx}\sin(xy)=\cos(xy)\cdot\frac{d}{dx}(xy).

Passo 3

Agora precisamos da derivada de xy. Como y depende de x, usamos a regra do produto: se u(x)=x e v(x)=y(x), então \dfrac{d}{dx}(uv)=u'v+uv'. Assim
\frac{d}{dx}(xy)=1\cdot y + x\cdot\frac{dy}{dx}=y + x\frac{dy}{dx}.

Passo 4

Substituindo essa derivada na expressão do lado esquerdo e igualando ao lado direito derivado, obtemos a equação (já com tudo em termos de x, y e \dfrac{dy}{dx}):
\cos(xy)\bigl(y + x\frac{dy}{dx}\bigr)=1+\frac{dy}{dx}.

Passo 5

Agora vamos isolar \dfrac{dy}{dx}. Primeiro distribuímos \cos(xy):
\cos(xy)\,y + \cos(xy)\,x\frac{dy}{dx}=1+\frac{dy}{dx}.
Em seguida, colocamos todos os termos que contêm \dfrac{dy}{dx} de um lado e os restantes do outro:
\cos(xy)\,x\frac{dy}{dx}-\frac{dy}{dx}=1-\cos(xy)\,y.
Fatorando \dfrac{dy}{dx} no lado esquerdo:
\left(\cos(xy)\,x-1\right)\frac{dy}{dx}=1-\cos(xy)\,y.

Passo 6

Finalmente, dividimos pelos coeficientes para obter \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx}=\frac{1-\cos(xy)\,y}{\cos(xy)\,x-1}.
Essa é a expressão da derivada implícita. Dá pra verificar rapidamente que, se quiser reorganizar o sinal, pode multiplicar numerador e denominador por -1 e obter outra forma equivalente.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1-\cos(xy)\,y}{\cos(xy)\,x-1}

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