Calcule as derivadas
das equações a seguir:
Passo 1
O enunciado dá a equação implícita
e pede para calcular a derivada
.
Informações relevantes: a variável independente é e
é função de
(ou seja,
). Não há valores numéricos fornecidos — a resposta será uma expressão em termos de
e
.
Informações relevantes: a variável independente é
Passo 2
Vamos derivar ambos os lados da igualdade em relação a
. Antes de derivar, lembraremos duas regras importantes:
- Regra da cadeia: se
, então . Aqui . - Derivada do lado direito:
.
Aplicando a derivação ao lado esquerdo usando a regra da cadeia obtemos:
Passo 3
Agora precisamos da derivada de
. Como
depende de
, usamos a regra do produto: se
e
, então
. Assim
Passo 4
Substituindo essa derivada na expressão do lado esquerdo e igualando ao lado direito derivado, obtemos a equação (já com tudo em termos de
,
e
):
Passo 5
Agora vamos isolar
. Primeiro distribuímos
:
Em seguida, colocamos todos os termos que contêm
de um lado e os restantes do outro:
Fatorando
no lado esquerdo:
Passo 6
Finalmente, dividimos pelos coeficientes para obter
:
Essa é a expressão da derivada implícita. Dá pra verificar rapidamente que, se quiser reorganizar o sinal, pode multiplicar numerador e denominador por
e obter outra forma equivalente.