Calcule as derivadas
das equações a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada
(ou
) da função dada. As informações fornecidas são:
- A função é
.
Em notação usual de trigonometria usaremospara , isto é:
Passo 2
Relembrando as derivadas básicas que vamos usar:
- A derivada de
é : . - A derivada de
é : .
Vou explicar rapidamente o que isso significa: quando você deriva
em relação a
, o resultado é
; quando deriva
, aparece um sinal negativo e vira
. Essas são regras básicas e muito usadas em provas.
Passo 3
Como temos uma razão (um quociente) de duas funções, aplicamos a regra do quociente. A regra do quociente diz o seguinte: se
, então
Aqui
é a derivada de
e
a derivada de
. É importante entender que primeiro derivamos numerador e denominador separadamente e depois montamos essa combinação.
Passo 4
Identificamos
e
na nossa função:
Agora calculamos as derivadas de
e
usando o que relembramos no passo 2:
Passo 5
Aplicando a regra do quociente:
Repare que o segundo termo tem sinal negativo vindo da regra; como
o produto
vira
.
Passo 6
Agora simplificamos o numerador passo a passo:
expandindo cada produto:
Agrupando
e o resto:
Usamos a identidade trigonométrica fundamental
. Substituindo:
Passo 7
Substituindo essa simplificação no resultado da derivada obtemos:
Essa é uma forma simples e correta para a derivada. Se quiser, dá para escrever de outras maneiras equivalentes, por exemplo separando termos:
mas a forma em fração única costuma ser mais compacta.
Passo 8
Resumo rápido do raciocínio para a prova: identificar numerador e denominador, lembrar as derivadas de
e
, aplicar a regra do quociente com calma, expandir e usar
para simplificar. Vai dar certo — respira fundo e faz passo a passo como fizemos aqui.