Calcule as derivadas rac{d y}{d x} das equações a seguir:
f(\mathrm{x})=\frac{\operatorname{sen} \mathrm{x}+1}{1+\cos \mathrm{x}}\

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada \dfrac{dy}{dx} (ou f'(x)) da função dada. As informações fornecidas são:
  • A função é \displaystyle f(\mathrm{x})=\frac{\operatorname{sen} \mathrm{x}+1}{1+\cos \mathrm{x}}.
    Em notação usual de trigonometria usaremos \sin para \operatorname{sen}, isto é:
f(x)=\frac{1+\sin x}{1+\cos x}.

Passo 2

Relembrando as derivadas básicas que vamos usar:
  • A derivada de \sin x é \cos x: \dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x.
  • A derivada de \cos x é -\sin x: \dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin x.
Vou explicar rapidamente o que isso significa: quando você deriva \sin x em relação a x, o resultado é \cos x; quando deriva \cos x, aparece um sinal negativo e vira \\ -sin x. Essas são regras básicas e muito usadas em provas.

Passo 3

Como temos uma razão (um quociente) de duas funções, aplicamos a regra do quociente. A regra do quociente diz o seguinte: se \displaystyle f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}, então
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^2}.
Aqui u'(x) é a derivada de u e v'(x) a derivada de v. É importante entender que primeiro derivamos numerador e denominador separadamente e depois montamos essa combinação.

Passo 4

Identificamos u e v na nossa função:
u(x)=1+\sin x,\qquad v(x)=1+\cos x.
Agora calculamos as derivadas de u e v usando o que relembramos no passo 2:
u'(x)=\cos x,\qquad v'(x)=-\sin x.

Passo 5

Aplicando a regra do quociente:
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{(v(x))^2} =\frac{\cos x\,(1+\cos x)-(1+\sin x)\,(-\sin x)}{(1+\cos x)^2}.
Repare que o segundo termo tem sinal negativo vindo da regra; como v'(x)=-\sin x o produto -u(x)v'(x) vira +(1+\sin x)\sin x.

Passo 6

Agora simplificamos o numerador passo a passo:
\cos x\,(1+\cos x)+(1+\sin x)\sin x
expandindo cada produto:
= \cos x + \cos^2 x + \sin x + \sin^2 x.
Agrupando \cos^2 x+\sin^2 x e o resto:
= (\cos^2 x+\sin^2 x) + (\sin x+\cos x).
Usamos a identidade trigonométrica fundamental \sin^2 x+\cos^2 x=1. Substituindo:
= 1 + \sin x + \cos x.

Passo 7

Substituindo essa simplificação no resultado da derivada obtemos:
f'(x)=\frac{1+\sin x+\cos x}{(1+\cos x)^2}.
Essa é uma forma simples e correta para a derivada. Se quiser, dá para escrever de outras maneiras equivalentes, por exemplo separando termos:
f'(x)=\frac{1}{1+\cos x}+\frac{\sin x}{(1+\cos x)^2},
mas a forma em fração única costuma ser mais compacta.

Passo 8

Resumo rápido do raciocínio para a prova: identificar numerador e denominador, lembrar as derivadas de \sin e \cos, aplicar a regra do quociente com calma, expandir e usar \sin^2x+\cos^2x=1 para simplificar. Vai dar certo — respira fundo e faz passo a passo como fizemos aqui.

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{1+\sin x+\cos x}{(1+\cos x)^2}

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