Se
, encontre
e
:
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para encontrar as derivadas sucessivas
e
. Não há outras informações ocultas: a função é um polinômio de grau 4 e as derivadas podem ser obtidas termo a termo.
Passo 2
Regra que vamos usar (explicação didática e simples):
- Regra do poder: para qualquer inteiro
,
Isto significa que para cada monômio
(onde
é constante) a derivada é
porque a constante
sai multiplicando.
- Derivada de constante: se
é constante, então
Essas duas regras bastam para derivar polinômios termo a termo.
Passo 3
Calcular
aplicando a regra do poder termo a termo.
- Para
: a derivada é . - Para
: a derivada é . - Para
: escrevendo como , a derivada é . - Para
(constante): a derivada é .
Somando os termos:
Passo 4
Calcular
derivando
termo a termo.
Partimos de .
Partimos de
- Para
: derivada . - Para
: derivada . - Para
: derivada .
Somando:
Passo 5
Calcular
derivando
.
Partimos de .
Partimos de
- Para
: derivada . - Para
: derivada . - Para
: derivada .
Somando:
Passo 6
Calcular
derivando
.
Partimos de .
Partimos de
- Para
: derivada . - Para
: derivada .
Logo:
Observação rápida: sendo
um polinômio de grau 4, a derivada de ordem 4 é constante e a derivada de ordem 5 seria
.