Se f(x)=5 x^{4}+2 x^{3}-x^{2}+4, encontre f^{\prime}(x), f^{\prime \prime}(x), f^{\prime \prime \prime}(x) e f^{\prime \prime \prime}(x) :

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=5x^{4}+2x^{3}-x^{2}+4
e pede para encontrar as derivadas sucessivas f^{\prime}(x), f^{\prime\prime}(x), f^{\prime\prime\prime}(x) e f^{(4)}(x). Não há outras informações ocultas: a função é um polinômio de grau 4 e as derivadas podem ser obtidas termo a termo.

Passo 2

Regra que vamos usar (explicação didática e simples):
  • Regra do poder: para qualquer inteiro n\ge 0,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1}.
Isto significa que para cada monômio a x^{n} (onde a é constante) a derivada é
\frac{d}{dx}\bigl(a x^{n}\bigr)=a\cdot n x^{n-1},
porque a constante a sai multiplicando.
  • Derivada de constante: se c é constante, então
\frac{d}{dx}\text{(c)}=0.
Essas duas regras bastam para derivar polinômios termo a termo.

Passo 3

Calcular f^{\prime}(x) aplicando a regra do poder termo a termo.
  • Para 5x^{4}: a derivada é 5\cdot 4 x^{3}=20x^{3}.
  • Para 2x^{3}: a derivada é 2\cdot 3 x^{2}=6x^{2}.
  • Para -x^{2}: escrevendo como (-1)x^{2}, a derivada é -1\cdot 2 x=-2x.
  • Para 4 (constante): a derivada é 0.
Somando os termos:
f^{\prime}(x)=20x^{3}+6x^{2}-2x.

Passo 4

Calcular f^{\prime\prime}(x) derivando f^{\prime}(x) termo a termo.
Partimos de f^{\prime}(x)=20x^{3}+6x^{2}-2x.
  • Para 20x^{3}: derivada 20\cdot 3 x^{2}=60x^{2}.
  • Para 6x^{2}: derivada 6\cdot 2 x=12x.
  • Para -2x: derivada -2.
    Somando:
f^{\prime\prime}(x)=60x^{2}+12x-2.

Passo 5

Calcular f^{\prime\prime\prime}(x) derivando f^{\prime\prime}(x).
Partimos de f^{\prime\prime}(x)=60x^{2}+12x-2.
  • Para 60x^{2}: derivada 60\cdot 2 x=120x.
  • Para 12x: derivada 12.
  • Para -2: derivada 0.
    Somando:
f^{\prime\prime\prime}(x)=120x+12.

Passo 6

Calcular f^{(4)}(x) derivando f^{\prime\prime\prime}(x).
Partimos de f^{\prime\prime\prime}(x)=120x+12.
  • Para 120x: derivada 120.
  • Para 12: derivada 0.
    Logo:
f^{(4)}(x)=120.
Observação rápida: sendo f um polinômio de grau 4, a derivada de ordem 4 é constante e a derivada de ordem 5 seria 0.

Resposta

f^{\prime}(x)=20x^{3}+6x^{2}-2x
f^{\prime\prime}(x)=60x^{2}+12x-2
f^{\prime\prime\prime}(x)=120x+12
f^{(4)}(x)=120

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