Calcule as derivadas rac{d y}{d x} das equações a seguir:
f(\mathrm{x})=\frac{2 x^{4}-3}{x^{2}-5 x+3}\

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada \dfrac{dy}{dx} da função dada. A função fornecida é
f(\mathrm{x})=\frac{2 x^{4}-3}{x^{2}-5 x+3}.
Portanto a pergunta é: calcular \dfrac{d}{d x}\left(\dfrac{2 x^{4}-3}{x^{2}-5 x+3}\right).

Passo 2

Vamos nomear o numerador e o denominador para ficar claro e organizado:
u(x)=2 x^{4}-3,\qquad v(x)=x^{2}-5 x+3.
Agora calculemos as derivadas de u e v. Lembrete rápido da regra para monômios: a derivada de \,x^{n}\, é \,n x^{n-1}\,. Usando isso:
u'(x)=\frac{d}{d x}\left(2 x^{4}-3\right)=2\cdot 4 x^{3}=8 x^{3},
v'(x)=\frac{d}{d x}\left(x^{2}-5 x+3\right)=2 x-5.

Passo 3

A regra que vamos usar é a regra do quociente. Explicando de forma simples: se f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com v(x)\neq0, então
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Essa fórmula pode ser obtida escrevendo f(x)=u(x)\,v(x)^{-1} e aplicando a regra do produto junto com a regra da cadeia. Agora aplicamos essa fórmula com os u, v, u' e v' que encontramos.

Passo 4

Substituindo na fórmula do quociente:
\frac{d y}{d x}=f'(x)=\frac{8 x^{3}\,(x^{2}-5 x+3)-(2 x^{4}-3)\,(2 x-5)}{(x^{2}-5 x+3)^{2}}.
Vamos expandir cuidadosamente os dois produtos do numerador.
Primeiro produto:
8 x^{3}\,(x^{2}-5 x+3)=8 x^{3}\cdot x^{2}-8 x^{3}\cdot 5 x+8 x^{3}\cdot 3=8 x^{5}-40 x^{4}+24 x^{3}.

Passo 5

Segundo produto:
(2 x^{4}-3)\,(2 x-5)=2 x^{4}\cdot 2 x-2 x^{4}\cdot 5-3\cdot 2 x+3\cdot 5=4 x^{5}-10 x^{4}-6 x+15.
Agora subtraímos esse segundo produto do primeiro (lembrando do sinal na fórmula):
\begin{aligned} \text{numerador} &= \left(8 x^{5}-40 x^{4}+24 x^{3}\right)-\left(4 x^{5}-10 x^{4}-6 x+15\right)\\[4pt] &=8 x^{5}-40 x^{4}+24 x^{3}-4 x^{5}+10 x^{4}+6 x-15\\[4pt] &=4 x^{5}-30 x^{4}+24 x^{3}+6 x-15. \end{aligned}
Portanto a derivada fica
\frac{d y}{d x}=\frac{4 x^{5}-30 x^{4}+24 x^{3}+6 x-15}{(x^{2}-5 x+3)^{2}}.
Observação sobre domínio: essa expressão só vale para x tais que x^{2}-5 x+3\neq0, porque o denominador original não pode ser zero.]

Resposta

\frac{d y}{d x}=\frac{4 x^{5}-30 x^{4}+24 x^{3}+6 x-15}{(x^{2}-5 x+3)^{2}}

Exercícios relacionados