Encontre a inclinação da reta tangente para as funções a seguir, nos pontos genéricos
:
Passo 1
O enunciado pede a inclinação da reta tangente à curva no ponto genérico
para a função dada. As informações que temos:
- A função é
. - O ponto genérico na curva é
. Como é um ponto da curva, vale .
O que se pede explicitamente: encontrar a inclinação da reta tangente no ponto.
Passo 2
Conceito chave (explicadinho): a inclinação da reta tangente a uma função num ponto
é o valor da derivada da função avaliada em
. A derivada de
em um ponto
é definida pelo limite da razão incremental:
Aqui:
-
representa a função derivada, que dá a inclinação da tangente em qualquer abscissa ; -
é um incremento pequeno em e a expressão calcula a taxa média de variação de quando varia de para . Fazendo obtemos a taxa instantânea (a inclinação da tangente).
Passo 3
Vamos aplicar a definição de derivada à função
. Primeiro calcule
:
Desenvolvendo:
então
Passo 4
Agora montamos a diferença
. Lembrando que
, temos:
Cancelam-se
,
e
, sobrando:
Dividindo por
:
Passo 5
Agora aplicamos o limite quando
:
Portanto a derivada da função é a função
.
Passo 6
A inclinação da reta tangente no ponto
é obtida substituindo
na derivada:
Observação útil e rápida (para guardar na prova): a função pode ser escrita como
, então a derivada pela regra do poder é
— é só outra via para chegar ao mesmo resultado. Um exemplo numérico para fixar: se
, então a inclinação é
.