Encontre a inclinação da reta tangente para as funções a seguir, nos pontos genéricos \left(x_{1}, y_{1}\right) :
f(x)=x^{2}-2 x+1

Passo 1

O enunciado pede a inclinação da reta tangente à curva no ponto genérico \left(x_{1},y_{1}\right) para a função dada. As informações que temos:
  • A função é \displaystyle f(x)=x^{2}-2x+1.
  • O ponto genérico na curva é \left(x_{1},y_{1}\right). Como é um ponto da curva, vale \displaystyle y_{1}=f(x_{1}).
    O que se pede explicitamente: encontrar a inclinação da reta tangente no ponto \left(x_{1},y_{1}\right).

Passo 2

Conceito chave (explicadinho): a inclinação da reta tangente a uma função num ponto \left(x_{1},y_{1}\right) é o valor da derivada da função avaliada em x_{1}. A derivada de f em um ponto x é definida pelo limite da razão incremental:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aqui:
  • f'(x) representa a função derivada, que dá a inclinação da tangente em qualquer abscissa x;
  • h é um incremento pequeno em x e a expressão calcula a taxa média de variação de f quando x varia de x para x+h. Fazendo h\to0 obtemos a taxa instantânea (a inclinação da tangente).

Passo 3

Vamos aplicar a definição de derivada à função \displaystyle f(x)=x^{2}-2x+1. Primeiro calcule f(x+h):
f(x+h)=(x+h)^{2}-2(x+h)+1.
Desenvolvendo:
(x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2},
então
f(x+h)=x^{2}+2xh+h^{2}-2x-2h+1.

Passo 4

Agora montamos a diferença f(x+h)-f(x). Lembrando que f(x)=x^{2}-2x+1, temos:
f(x+h)-f(x)=\bigl(x^{2}+2xh+h^{2}-2x-2h+1\bigr)-\bigl(x^{2}-2x+1\bigr).
Cancelam-se x^{2}, -2x e 1, sobrando:
f(x+h)-f(x)=2xh+h^{2}-2h.
Dividindo por h:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{2xh+h^{2}-2h}{h}=2x+h-2.

Passo 5

Agora aplicamos o limite quando h\to 0:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\bigl(2x+h-2\bigr)=2x-2.
Portanto a derivada da função é a função \displaystyle f'(x)=2x-2.

Passo 6

A inclinação da reta tangente no ponto \left(x_{1},y_{1}\right) é obtida substituindo x=x_{1} na derivada:
\text{inclinação} = f'(x_{1})=2x_{1}-2.çã
Observação útil e rápida (para guardar na prova): a função pode ser escrita como \displaystyle f(x)=(x-1)^{2}, então a derivada pela regra do poder é \displaystyle f'(x)=2(x-1)=2x-2 — é só outra via para chegar ao mesmo resultado. Um exemplo numérico para fixar: se x_{1}=2, então a inclinação é 2\cdot 2-2=2.

Resposta

2x_{1}-2

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