Calcule as derivadas rac{d y}{d x} das equações a seguir:
f(x)=\frac{\cos (x)}{1-\operatorname{sen}(x)}\

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dada a função \displaystyle f(x)=\frac{\cos(x)}{1-\operatorname{sen}(x)}.
  • Pede-se calcular a derivada \displaystyle \frac{d y}{d x} (ou seja, \displaystyle f'(x)).
Informações relevantes extraídas: a função é uma razão entre funções trigonométricas; vamos trabalhar com identidades trigonométricas e regras de derivação.

Passo 2

Escolha do método e por que.
Há duas formas naturais de proceder: usar diretamente a regra do quociente ou primeiro simplificar a expressão algébrica para obter uma forma mais simples e então derivar. Vou simplificar a função antes de derivar porque isso deixa a derivada muito mais curta e evita muitas contas algébricas na prova — é um truque clássico e seguro.

Passo 3

Multiplicar numerador e denominador pela conjugada 1+\operatorname{sen}(x) (truque de racionalização).
Começo por multiplicar por \dfrac{1+\operatorname{sen}(x)}{1+\operatorname{sen}(x)}, que vale 1, então a função não muda:
f(x)=\frac{\cos(x)}{1-\operatorname{sen}(x)}\cdot\frac{1+\operatorname{sen}(x)}{1+\operatorname{sen}(x)}.
Agora faço o produto no numerador e no denominador:
f(x)=\frac{\cos(x)\bigl(1+\operatorname{sen}(x)\bigr)}{(1-\operatorname{sen}(x))(1+\operatorname{sen}(x))}.

Passo 4

Usar a identidade trigonométrica 1-\operatorname{sen}^2(x)=\cos^2(x).
No denominador aparece uma diferença de quadrados:
(1-\operatorname{sen}(x))(1+\operatorname{sen}(x))=1-\operatorname{sen}^2(x)=\cos^2(x).
Substituindo:
f(x)=\frac{\cos(x)\bigl(1+\operatorname{sen}(x)\bigr)}{\cos^2(x)}.
Agora simplifico uma potência de \cos(x):
f(x)=\frac{1+\operatorname{sen}(x)}{\cos(x)}.

Passo 5

Escrever em termos de funções trigonométricas usuais ( \operatorname{sec} e \tan) para facilitar a derivação.
Divido o numerador por \cos(x):
f(x)=\frac{1}{\cos(x)}+\frac{\operatorname{sen}(x)}{\cos(x)}=\operatorname{sec}(x)+\tan(x),
onde \displaystyle \operatorname{sec}(x)=\frac{1}{\cos(x)} e \displaystyle \tan(x)=\frac{\operatorname{sen}(x)}{\cos(x)}.

Passo 6

Derivar termo a termo: conhecer as derivadas de \tan e \operatorname{sec}.
Vou lembrar e demonstrar rapidamente as duas derivadas que vou usar, para você saber aplicar na prova.
Derivada de \tan(x): escrever \tan(x)=\dfrac{\operatorname{sen}(x)}{\cos(x)} e usar a regra do quociente:
\frac{d}{dx}\tan(x)=\frac{\cos(x)\cdot\cos(x)-\operatorname{sen}(x)\cdot(-\operatorname{sen}(x))}{\cos^2(x)} =\frac{\cos^2(x)+\operatorname{sen}^2(x)}{\cos^2(x)}=\frac{1}{\cos^2(x)}=\operatorname{sec}^2(x).
Então \displaystyle \frac{d}{dx}\tan(x)=\operatorname{sec}^2(x).
Derivada de \operatorname{sec}(x): escrever \operatorname{sec}(x)=\cos^{-1}(x) e usar a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\operatorname{sec}(x)=\frac{d}{dx}\cos^{-1}(x)=-1\cdot\cos^{-2}(x)\cdot(-\operatorname{sen}(x))=\frac{\operatorname{sen}(x)}{\cos^2(x)}=\operatorname{sec}(x)\tan(x).
Então \displaystyle \frac{d}{dx}\operatorname{sec}(x)=\operatorname{sec}(x)\tan(x).

Passo 7

Aplicar as derivadas ao f(x)=\operatorname{sec}(x)+\tan(x).
Derivando termo a termo:
f'(x)=\frac{d}{dx}\operatorname{sec}(x)+\frac{d}{dx}\tan(x)=\operatorname{sec}(x)\tan(x)+\operatorname{sec}^2(x).
Se quiser colocar em uma forma fatorada:
f'(x)=\operatorname{sec}(x)\bigl(\tan(x)+\operatorname{sec}(x)\bigr).
Também posso escrever tudo em termos de \sin e \cos (sem símbolos \operatorname{sec},\tan):
f'(x)=\frac{1}{\cos(x)}\!\left(\frac{\operatorname{sen}(x)}{\cos(x)}+\frac{1}{\cos(x)}\right) =\frac{1+\operatorname{sen}(x)}{\cos^2(x)}.

Resposta

\displaystyle \frac{d y}{d x}=\frac{1+\operatorname{sen}(x)}{\cos^2(x)}

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