Calcule as derivadas
das equações a seguir:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
- Dada a função
. - Pede-se calcular a derivada
(ou seja, ).
Informações relevantes extraídas: a função é uma razão entre funções trigonométricas; vamos trabalhar com identidades trigonométricas e regras de derivação.
Passo 2
Escolha do método e por que.
Há duas formas naturais de proceder: usar diretamente a regra do quociente ou primeiro simplificar a expressão algébrica para obter uma forma mais simples e então derivar. Vou simplificar a função antes de derivar porque isso deixa a derivada muito mais curta e evita muitas contas algébricas na prova — é um truque clássico e seguro.
Há duas formas naturais de proceder: usar diretamente a regra do quociente ou primeiro simplificar a expressão algébrica para obter uma forma mais simples e então derivar. Vou simplificar a função antes de derivar porque isso deixa a derivada muito mais curta e evita muitas contas algébricas na prova — é um truque clássico e seguro.
Passo 3
Multiplicar numerador e denominador pela conjugada
(truque de racionalização).
Começo por multiplicar por , que vale
, então a função não muda:
Começo por multiplicar por
Agora faço o produto no numerador e no denominador:
Passo 4
Usar a identidade trigonométrica
.
No denominador aparece uma diferença de quadrados:
No denominador aparece uma diferença de quadrados:
Substituindo:
Agora simplifico uma potência de
:
Passo 5
Escrever em termos de funções trigonométricas usuais (
e
) para facilitar a derivação.
Divido o numerador por :
Divido o numerador por
onde
e
.
Passo 6
Derivar termo a termo: conhecer as derivadas de
e
.
Vou lembrar e demonstrar rapidamente as duas derivadas que vou usar, para você saber aplicar na prova.
Vou lembrar e demonstrar rapidamente as duas derivadas que vou usar, para você saber aplicar na prova.
Derivada de
: escrever
e usar a regra do quociente:
Então
.
Derivada de
: escrever
e usar a regra da cadeia:
Então
.
Passo 7
Aplicar as derivadas ao
.
Derivando termo a termo:
Derivando termo a termo:
Se quiser colocar em uma forma fatorada:
Também posso escrever tudo em termos de
e
(sem símbolos
):