Calcule as derivadas das seguintes funções.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é calcular a derivada da função $ s(t) = \left(4 t^{5} - 3 t^{3} + 2 t\right)^{-2} $. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente usando a Regra da Cadeia para derivadas. Vamos precisar lembrar como derivar polinômios e aplicar a regra da cadeia para funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parte interna da função, ou seja, o que está dentro do parêntese. Vamos chamar isso de $ f(t) $:
Nossa função original então é:
Passo 3
Agora, para derivar $ s(t) $, vamos aplicar a Regra da Cadeia. A regra da cadeia diz que se temos uma função composta $ h(g(t)) $, então a derivada é:
No nosso caso, $ h(u) = u^{-2} $ e $ u = f(t) $.
Passo 4
Vamos derivar $ h(u) = u^{-2} $. Usando a regra do poder, a derivada é:
Então, substituindo $ u $ por $ f(t) $:
Passo 5
Agora, precisamos derivar $ f(t) = 4 t^{5} - 3 t^{3} + 2 t $. Aplicando a regra do poder para cada termo:
Passo 6
Finalmente, aplicando a Regra da Cadeia, multiplicamos $ h’(f(t)) $ por $ f’(t) $:
Resposta
A derivada da função é: