Calcule as derivadas das seguintes funções.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é calcular a derivada da função $ s(t) = \left(4 t^{5} - 3 t^{3} + 2 t\right)^{-2} $. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente usando a Regra da Cadeia para derivadas. Vamos precisar lembrar como derivar polinômios e aplicar a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte interna da função, ou seja, o que está dentro do parêntese. Vamos chamar isso de $ f(t) $:
f(t)
Nossa função original então é:
f(t) = 4 t^5 - 3 t^3 + 2 t

Passo 3

Agora, para derivar $ s(t) $, vamos aplicar a Regra da Cadeia. A regra da cadeia diz que se temos uma função composta $ h(g(t)) $, então a derivada é:
s(t)
No nosso caso, $ h(u) = u^{-2} $ e $ u = f(t) $.

Passo 4

Vamos derivar $ h(u) = u^{-2} $. Usando a regra do poder, a derivada é:
h(u) = u^-2
Então, substituindo $ u $ por $ f(t) $:
h'(u) = -2 u^-3

Passo 5

Agora, precisamos derivar $ f(t) = 4 t^{5} - 3 t^{3} + 2 t $. Aplicando a regra do poder para cada termo:
f(t) = 4 t^5 - 3 t^3 + 2 t

Passo 6

Finalmente, aplicando a Regra da Cadeia, multiplicamos $ h’(f(t)) $ por $ f’(t) $:
h'(f(t))

Resposta

A derivada da função é:
s'(t) = -2 (4 t^5 - 3 t^3 + 2 t)^-3 (20 t^4 - 9 t^2 + 2)

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