Verifique que a integral
diverge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a integral
diverge ou não. O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais impróprias e testes de convergência. Para resolver isso, vamos precisar entender como comparar integrais e usar algumas propriedades básicas das funções envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar a análise:
Passo 3
Vamos olhar para a primeira integral:
. Sabemos que a integral de
de 1 até o infinito é
, que cresce sem limite conforme
vai para o infinito. Multiplicando por 2, ainda teremos algo que vai para o infinito. Então, essa parte da integral já está divergindo.
Passo 4
Agora, a segunda integral:
. Essa é uma integral conhecida chamada Integral de Fresnel, que na verdade converge. Isso significa que, mesmo que essa parte não cresça sem limite, a primeira parte já está garantindo que tudo somado vai para o infinito.
Passo 5
Como temos uma parte da integral que diverge (
) e outra que converge, o resultado final é que a integral original também diverge. Isso porque, se uma parte já está indo para o infinito, o todo também estará.
Resposta
A integral
diverge.