Encontre um fator integrante e resolva:

Passo 1

O enunciado pede para encontrar um fator integrante e resolver a equação diferencial não exata (t^2+4),dt + t,dx = x,dt. O conteúdo envolve testar exatidão, achar fator integrante (dependendo só de t) e, depois, obter a solução geral.

Passo 2

Reescrevemos a equação na forma M(t,x),dt + N(t,x),dx = 0. Subtraindo x,dt de ambos os lados, temos
M(t,x)=t^2+4 - x, N(t,x)=t
Testamos exatidão comparando partial M/partial x = -1 e partial N/partial t = 1. Como não são iguais, a equação não é exata.

Passo 3

Buscamos um fator integrante dependente só de t. A condição é
partial M/partial x - partial N/partial tN(t,x) = -1 - 1t = -2t,
que é função só de t. Logo,
$$\mu(t)=\exp\Bigl(\int -\tfrac{2}{t},dt\Bigr)=\exp(-2\ln t)=t^{-2}.
$$

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(t)=t^-2, obtendo
$$\Bigl(1 + \frac{4}{t^{2}} - \frac{x}{t^{2}}\Bigr)dt + \frac{1}{t},dx = 0.
$$
Agora l(1 + 4t^2 - xt^2r)dt + 1t,dx = 0 e M^*=1+4/t^2-x/t^2 satisfazem
N^*=1/t e partial M^*/partial x = -1/t^2, logo a nova equação é exata.

Passo 5

Procuramos a função potencial psi(t,x) tal que
$$\frac{\partial \psi}{\partial t}=M*(t,x)=1+\frac{4}{t{2}}-\frac{x}{t^{2}}.
partial psipartial t=M^*(t,x)=1+4t^2-xt^2 çã
\psi(t,x)=\int\Bigl(1+4t{-2}-xt{-2}\Bigr)dt= t - \frac{4}{t} + \frac{x}{t} + h(x).
$$

Passo 6

Impondo
partial psipartial x=1t + h'(x)=N^*(t,x)=1t,
vemos que h'(x)=0, ou seja, h(x) é constante.

Passo 7

A solução geral vem de psi(t,x)=C, ou seja,
$$t - \frac{4}{t} + \frac{x}{t} = C.
t - 4t + xt = C íx = C,t - t^{2} + 4.
$$

Resposta

x = C,t - t^{2} + 4

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