Encontre um fator integrante e resolva:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar um fator integrante e resolver a equação diferencial não exata
. O conteúdo envolve testar exatidão, achar fator integrante (dependendo só de
) e, depois, obter a solução geral.
Passo 2
Reescrevemos a equação na forma
. Subtraindo
de ambos os lados, temos
Testamos exatidão comparando
Passo 3
Buscamos um fator integrante dependente só de
. A condição é
que é função só de
$$\mu(t)=\exp\Bigl(\int -\tfrac{2}{t},dt\Bigr)=\exp(-2\ln t)=t^{-2}.
$$
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
, obtendo
$$\Bigl(1 + \frac{4}{t^{2}} - \frac{x}{t^{2}}\Bigr)dt + \frac{1}{t},dx = 0.
$$
Agora e
satisfazem
e
, logo a nova equação é exata.
Agora
Passo 5
Procuramos a função potencial
tal que
$$\frac{\partial \psi}{\partial t}=M*(t,x)=1+\frac{4}{t{2}}-\frac{x}{t^{2}}.
\psi(t,x)=\int\Bigl(1+4t{-2}-xt{-2}\Bigr)dt= t - \frac{4}{t} + \frac{x}{t} + h(x).
$$
Passo 6
Impondo
vemos que
Passo 7
A solução geral vem de
, ou seja,
$$t - \frac{4}{t} + \frac{x}{t} = C.
$$
Resposta
x = C,t - t^{2} + 4