Encontre a decomposição A=L U das seguintes matrizes:
lll5 & 2 & 1 3 & 1 & 4 1 & 1 & 3

Passo 1

Temos a matriz
A=5 & 2 & 13 & 1 & 41 & 1 & 3
Queremos achar uma decomposição A=LU, em que L é triangular inferior com 1 na diagonal e U é triangular superior. Para isso usamos o método de Doolittle (eliminação de Gauss sem pivoteamento).

Passo 2

No método de Doolittle calculamos multiplicadores mij para zerar elementos abaixo da diagonal. Primeiro, para zerar a21 e a31, usamos o pivô a11=5:
m21=35, m31=15
Subtraindo essas frações de vezes a linha 1 das linhas 2 e 3, obtemos
5 & 2 & 10 & -tfrac15 & tfrac1750 & tfrac35 & tfrac145

Passo 3

Em seguida, para zerar o elemento na posição (3,2), usamos o pivô -tfrac15 (segunda linha):
m32=tfrac35-tfrac15=-3
Subtraindo -3 vezes a linha 2 da linha 3, chegamos a
5 & 2 & 10 & -tfrac15 & tfrac1750 & 0 & 13,
que é a matriz U.

Passo 4

Agora montamos L com 1 na diagonal e os multiplicadores abaixo dela, na mesma posição em que zeramos em A:
L=1 & 0 & 0tfrac35 & 1 & 0tfrac15 & -3 & 1

Resposta

As matrizes da decomposição são:
L=1 & 0 & 0tfrac35 & 1 & 0tfrac15 & -3 & 1, U=5 & 2 & 10 & -tfrac15 & tfrac1750 & 0 & 13

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