Calcule as derivadas seguintes funções:
cos (x)x^2-3

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . Aqui, estamos trabalhando com derivadas, especificamente aplicando a regra do quociente. Para isso, vamos precisar identificar as partes de cima e de baixo da fração e saber como derivar cada uma delas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função:
  • Numerador (parte de cima):
  • Denominador (parte de baixo):

Passo 3

A próxima coisa que precisamos usar é a regra do quociente para derivadas. Essa regra diz que, se você tem uma função que é uma divisão de duas funções (f(x)g(x))' = f'(x) cdot g(x) - f(x) cdot g'(x)[g(x)]^2 e , a derivada dessa função é:
Isso significa que você deriva o numerador e o denominador separadamente e depois aplica essa fórmula.

Passo 4

Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador: A derivada de é .
  • Derivada do denominador: A derivada de é .

Passo 5

Agora, aplicamos a regra do quociente com as derivadas que encontramos:
(cos(x)x^2 - 3)' = (-sin(x)) cdot (x^2 - 3) - cos(x) cdot (2x)(x^2 - 3)^2

Passo 6

Vamos simplificar a expressão no numerador:
-sin(x)(x^2 - 3) - 2xcos(x) = -x^2sin(x) + 3sin(x) - 2xcos(x)
Então, a derivada completa fica:
(cos(x)x^2 - 3)' = -x^2sin(x) + 3sin(x) - 2xcos(x)(x^2 - 3)^2

Resposta

A derivada da função -x^2sin(x) + 3sin(x) - 2xcos(x)(x^2 - 3)^2 é:

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